[論文レビュー] Zero Forcing Sets for Graphs

Fatemeh Alinaghipour|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 21被引用数 13

ひとこと要約

本博士論文は、グラフ理論におけるゼロフォースティングパラメータを調査し、グラフに関連する対称行列および半正定値行列の最大零空間次元に対する組合せ的上限として、ゼロフォースティング数 $ Z(G) $ と正のゼロフォースティング数 $ Z_+(G) $ を導入する。本研究では、$ Z(G) = M(G) $ が成り立つ新たなグラフ族を特定し、新しく定義されたグラフクラスにおいて $ Z(G) $ とパス被覆数の等価性を証明するとともに、フォースティングツリーを用いて $ Z_+(G) $ をツリーベース被覆数 $ T(G) $ と関連づけ、彩色数や独立数との新たな関係を明らかにする。

ABSTRACT

For any simple graph $G$ on $n$ vertices, the (positive semi-definite) minimum rank of $G$ is defined to be the smallest possible rank among all (positive semi-definite) real symmetric $n imes n$ matrices whose entry in position $(i,j)$, for $i eq j$, is non-zero if $ij$ is an edge in $G$ and zero otherwise. Also, the (positive semi-definite) maximum nullity of $G$ is defined to be the largest possible nullity of a (positive semi-definite) matrix in the above set of matrices. In this thesis we study two graph parameters, namely the zero forcing number of $G$, $Z(G)$, and the positive zero forcing number of $G$, $Z_+(G)$, which bound the maximum nullity and the positive semi-definite maximum nullity from above, respectively. With regard to the zero forcing number, we introduce some new families of graphs for which the zero forcing number and the maximum nullity are the same. Also we establish an equality between the zero forcing number and the path cover number for a new family of graphs. In addition, we establish a connection between the zero forcing number and the chromatic number of graphs. With regard to the positive zero forcing number, we introduce the concept of forcing trees in a graph and we establish a connection between the positive zero forcing number and the tree cover number. Also we study families of graphs for which these parameters coincide. In addition, we provide some new results on the connections of this parameter with other graph parameters, including the independence number and the chromatic number of $G$.

研究の動機と目的

• ツリーを越えて、$ Z(G) $ と最大零空間次元 $ M(G) $ が等しくなるようなグラフ族を同定すること。
• 新規のグラフクラスに対して、ゼロフォースティング数とパス被覆数との関係を確立すること。
• 正のゼロフォースティング集合およびフォースティングツリーの概念を導入し、$ Z_+(G) $ をツリーベース被覆数 $ T(G) $ と関連づけること。
• 彩色数や独立数といった古典的グラフパラメータと $ Z_+(G) $ の構造的関係を調査すること。
• ゼロフォースティングパラメータに関する未解決問題や予想を特定し、特にグラフ演算および $ k $-ツリーに関する今後の研究に向けた方向性を示すこと。

提案手法

• 色変更ルールに従い、すべての頂点を黒にフォースできる最小の頂点集合としてゼロフォースティング集合を定義し、その最小サイズを $ Z(G) $ として定義する。
• 色変更ルールを変更した正のゼロフォースティングルールを適用し、$ Z_+(G) $ を定義することで、半正定値行列と関連付ける。
• フォースティングツリーを、正のゼロフォースティングプロセス中に生成される誘導部分グラフとして定義し、$ Z_+(G) $ の構造的解析を可能にする。
• コロナ、結合、結合化といったグラフ演算を用いて、$ Z(G) $ および $ Z_+(G) $ が合成に伴ってどのように変化するかを分析する。
• 組合せ的技法および構造的グラフ理論を用いて、$ Z(G) $、$ Z_+(G) $ およびパス被覆数やツリーベース被覆数といった他のパラメータの等価性を証明する。
• スペクトルグラフ理論の概念、特に零空間次元、ランク、固有値の重複度を用いて、行列の性質とグラフパラメータとの関係を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ツリーおよび弦的グラフを越えて、どのグラフ族に対して $ Z(G) = M(G) $ が成り立つか。
• RQ2 新規のグラフクラスにおいて $ Z(G) $ とパス被覆数の関係は何か。
• RQ3 $ Z_+(G) = T(G) $ が成り立つ条件は何か、特に $ k $-ツリーおよびその部分構造に対して。
• RQ4 一般のグラフにおいて $ Z_+(G) $、独立数、および彩色数の関係は何か。
• RQ5 カルテシアン積、補グラフ、強積といったグラフ演算における $ Z(G) $ および $ Z_+(G) $ の値は何か。

主な発見

• ツリーを越えて、$ Z(G) $ が最大零空間次元 $ M(G) $ に等しい新たなグラフ族が特定され、既知の結果が拡張された。
• 新たに定義されたグラフクラスにおいて、$ Z(G) $ とパス被覆数の等価性が確立された。
• $ 2 $-ツリーに対して、正のゼロフォースティング数 $ Z_+(G) $ がツリーベース被覆数 $ T(G) $ に等しいことが示された。
• $ t $ 個のクラスタからなる $ k $-ツリーで、各クラスタのサイズが 3 以上であり、かつ最大で $ k-1 $ 個のサイズ $ k+1 $ の完全部分集合を共有する場合、$ Z_+(G) = k + t $ が成り立つと予想された。
• 正のゼロフォースティング数と彩色数との関係が確立され、一般には $ Z_+(G) \neq \text{彩色数} $ であるが、構造的制約が明らかになった。
• パラメータ $ \nu $ および $ \rho $ に対するマイナー単調性の性質が同定され、ハドウィガー予想やより広範なグラフ理論の予想との潜在的関係が示唆された。