[論文レビュー] Zero-free polynomial approximation on a chain of Jordan domains

Paul M. Gauthier, Greg Knese|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2012

Holomorphic and Operator Theory参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、連結な補集合を持つコンパact集合上で連続的かつ正則的でゼロをもたない関数が、そのコンパクト集合全体でゼロをもたない多項式によって一様近似可能かどうかという問題に対して、ジョルダン領域の鎖に対して肯定的な答えを提示する。コンformal写像と、縮小、レンズ型写像、放物型近似を用いた反復的ゼロ除去技法を用いて、このような領域に対してゼロをもたない多項式近似を構成する。

ABSTRACT

On a compact subset of the plane with connected complement, is it possible to uniformly approximate a continuous function, holomorphic and non-vanishing on the interior, with polynomials non-vanishing on the entire compact set? In this brief note, we recall the surprising connection between this question and the Riemann hypothesis and proceed to provide an affirmative answer for a "chain" of Jordan domains.

研究の動機と目的

• 連結な補集合を持つコンパクト集合上でゼロをもたない正則関数が、そのコンパクト集合全体でゼロをもたない多項式によって一様近似可能かどうかを調査すること。
• この近似問題とリーマン・ゼータ関数の普遍性との関連、特にリーマン予想への関連を明らかにすること。
• 隣接する領域が一点で接するジョルダン領域の鎖のケースに対して、構成的解法を提供すること。
• 単一のジョルダン領域や互いに交わらない領域の和集合に対する既知の結果を、連結な領域の鎖へと拡張すること。
• 隣接する領域の境界点におけるゼロを除去する方法を開発し、一様近似を保ったまま行うこと。

提案手法

• Osgood-Carathéodoryの定理を用いて、単位円板から鎖のジョルダン領域の閉包への conformal 写像を拡張する。
• 補題2.2（境界点への縮小）を適用して、関数のゼロを1つの円板の境界点に集中させる。
• 補題2.3（レンズ型写像）を用いて、ゼロを隣接する2つの円板の指定された境界点に写像する。
• 補題2.4（放物型近似）を適用して、境界点付近での関数を変形し、値を保ちながら小さな摂動を確保する。
• 補題2.5を用いて、2つの隣接するジョルダン領域の接点におけるゼロを、conformal 写像と制御された摂動を組み合わせて除去する。
• 領域の鎖全体にわたる有限帰納法を用い、補題2.5を順次適用して各接点におけるゼロを除去することで、ゼロをもたない近似に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゼロをもたない正則関数がジョルダン領域の鎖上で定義されているとき、そのコンパクト集合全体でゼロをもたない多項式によって一様近似可能か？
• RQ2 隣接するジョルダン領域の接点におけるゼロを除去する構成的技法は存在するか？ その際、一様近似が保たれるか？
• RQ3 隣接する領域が一点で接するジョルダン領域の鎖の構造は、ゼロをもたない多項式近似の可能性にどのように影響するか？
• RQ4 コンformal 写像と反復的摂動技法は、補集合が連結で単純接続でないコンパクト集合上でのゼロをもたない近似に果たす役割は何か？
• RQ5 この近似問題の解法は、リーマン予想のような深い数論的予想とどの程度関連しているか？

主な発見

• 隣接する領域が一点で接するジョルダン領域の鎖に対して、質問1.1に対して肯定的な答えが与えられた。
• 関数 f に一様に近い、Ω̄ 全体でゼロをもたない A(Ω̄) に属する関数の列が構成された。
• 構成は、補題2.2〜2.5を反復的に適用し、隣接領域の接点におけるゼロを順次除去することに依存する。
• 最終的な関数 fε は、鎖全体の閉包上でゼロをもたず、Ω̄ 上で |f − fε| < ε が成り立つことが示された。
• Mergelyan の定理により、fε は一様に多項式によって近似可能であり、その多項式は Ω̄ 全体でゼロをもたない性質を保つ。
• 本結果は、互いに交わらない領域や単一の領域に限定されない、連結な領域の鎖を含むクラスのコンパクト集合に対して、ゼロをもたない近似問題の構成的解法を確立した。