[論文レビュー] Zero Mode Tunnelling in a Fractional Quantum Hall Device

Stephanie Jane Huntington, Vadim Cheianov|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2014

Quantum and electron transport phenomena参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本研究では、モンテカルロシミュレーションを用いて、ν=1/3分数量子ホール端状態におけるゼロモードトンネル効果を調査し、微視的計算によるトンネル行列要素と有効Luttinger液体理論の比較を行った。結果として、非正規順序化トンネルハミルトニアンのみが数値結果と正確に一致することが判明し、物理的に関連するすべての系サイズにおいて準粒子トンネル効果が電子トンネル効果を上回ることを確認した。

ABSTRACT

Tunnelling measurements on fractional quantum Hall systems are continuing to increase in popularity since they provide a method to probe the non-Fermi liquid behaviour of fractionally charged excitations occupying the edge states of a quantum Hall system. When considering tunnelling one must resort to an effective theory and typically a phenomenological tunnelling Hamiltonian is used analogous to that used for a conventional Luttinger liquid. It is the form of this tunnelling Hamiltonian that is investigated in this work by making a comparison to an exact microscopic calculation of the zero mode tunnelling matrix elements. The computation is performed using Monte Carlo and results were obtained for various system sizes for the $ν=1/3$ Laughlin state. Here we also present a solution to overcome the phase problem experienced in Monte Carlo calculations using Laughlin-type wavefunctions. Comparing the system size dependence of the microscopic and phenomenological calculations for the tunnelling matrix elements, it was found that only for a particular type of operator ordering in the tunnelling Hamiltonian was it possible to make a good match to the numerical calculations. From the Monte Carlo data it is also clear that for any system size the electron tunnelling is always less relevant than the quasiparticle tunnelling process, supporting the idea that when considering tunnelling at a weak barrier, the electron tunnelling process can be neglected.

研究の動機と目的

• ν=1/3分数量子ホール状態におけるゼロモードトンネル効果を記述する有効Luttinger液体トンネルハミルトニアンの妥当性を検証すること。
• ラウフリン型波動関数のトンネル行列要素を計算するモンテカルロシミュレーションにおける位相問題を解決すること。
• トンネルハミルトニアンにおける演算子順序付けのうち、微視的計算によるトンネル行列要素と最も一致する形式を特定すること。
• さまざまな系サイズにおける電子トンネル効果と準粒子トンネル効果の相対的関連性を評価すること。

提案手法

• ν=1/3ラウフリン状態に対して、モンテカルロ法を用いてゼロモードトンネル行列要素の正確な微視的計算を実施した。
• χ ≤ 1 の場合に累積量展開法を用い、χ = ν⁻¹ = 3 の場合に絶対値形式に再定式化することで、モンテカルロにおける位相問題を克服した。
• 準粒子および電子演算子を含む微視的ハミルトニアンの数値的統合により、トンネル行列要素 ⟨V⟩_χ を計算した。
• 正規順序化と非正規順序化の2つの演算子順序付けスキームを用いて、⟨V⟩_χ の系サイズ依存性を有効理論の予測と比較した。
• 有限サイズスケーリングを用いて結果を外挿し、電子と準粒子トンネル効果の相対的関連性を評価した。
• レノルミズ化群に類似したスケーリング解析を適用し、指数 dln⟨A⟩/dlnN を用いてトンネル効果の関連性を特定した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ν=1/3 FQH系において、微視的トンネル行列要素を最もよく再現するのは、正規順序化か非正規順序化のどちらのトンネルハミルトニアンの形式か？
• RQ2 ラウフリン状態において、系サイズの増大に伴い、電子トンネル効果と準粒子トンネル効果の相対的関連性はどのように変化するか？
• RQ3 複素数のトンネル行列要素を計算する際、ラウフリン波動関数のモンテカルロシミュレーションにおける位相問題を克服できるか？
• RQ4 正確な微視的計算と比較した場合、有効Luttinger液体理論はFQH端状態におけるゼロモードトンネル効果を正確に記述できるか？
• RQ5 ν=1/3ラウフリン状態における準粒子および電子プロセスのトンネル行列要素の系サイズ依存性は何か？

主な発見

• 非正規順序化トンネルハミルトニアンのみが、モンテカルロで得られたトンネル行列要素の系サイズ依存性と良好に一致した。
• 電子トンネル効果のスケーリング指数は dln⟨A₃⟩/dlnN = -3.00 であった。これは、系サイズの増大に伴う強い抑制を示している。
• 準粒子トンネル効果のスケーリング指数は dln⟨A₁⟩/dlnN = -3.03 ± 0.09 であり、すべての系サイズで電子トンネル効果を上回ることを確認した。
• 物理的に到達可能なすべての系サイズ（N ≥ 1）において、電子トンネル効果は準粒子トンネル効果よりも重要性が低いことが判明し、弱い障壁モデルにおける無視が正当化された。
• 電子トンネル効果と準粒子トンネル効果の曲線の交点は N < 1 に位置しており、実際の系では電子トンネル効果が無視可能であることを確認した。
• 非正規順序化演算子の使用により、物理的に整合性があり、系サイズに依存しない相関関数が得られ、モデルの局所性が裏付けられた。