[論文レビュー] Zero product preservers of C*-algebras

Ngai‐Ching Wong|ArXiv.org|Aug 28, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、C*-代数間のゼロ積を保存する有界線形写像を調査し、自己随伴元のゼロ積を保存する場合、その写像がジョルダン同型を誘導することを示している。主な結果は、2つのC*-代数がジョルダン代数として同型であるための必要十分条件は、それらの間に全単射のゼロ積を保存する写像が存在することであり、写像が完全なゼロ積構造（ab=0 ⇒ θ(a)θ(b)=0）を保存する場合、それらはC*-代数としても同型である。

ABSTRACT

Let T be be a zero-product preserving bounded linear map between C*-algebras A and B. Here neither A nor B is necessarily unital. In this note, we investigate when T gives rise to a Jordan homomorphism. In particular, we show that A and B are isomorphic as Jordan algebras if T is bijective and sends zero products of self-adjoint elements to zero products. They are isomorphic as C*-algebras if T is bijective and preserves the full zero product structure.

研究の動機と目的

• C*-代数間のゼロ積を保存する写像が、いつジョルダン同型または代数的同型を誘導するかを特定すること。
• ユニタルC*-代数に関する先行結果を非ユニタルの場合に拡張すること。
• 全単射のゼロ積を保存する写像をジョルダン同型および代数的同型の観点から特徴づけること。
• C*-代数における*-同型と同値なd-同型の概念を確立すること。

提案手法

• A_saからM(A)_saへのゼロ積保存の拡張に、双対双対写像θ**の使用。
• 弱*連続性の応用により、ゼロ積保存を乗算子代数へ拡張すること。
• 自己随伴元およびその平方根の構造を活用し、θ(a)θ(b)=0を含む恒等式を導出すること。
• 中心的補助射影およびM(A)_saにおけるネットによる近似を用いて、非ユニタル代数を扱うこと。
• ブレシャールおよびアケマン＝ペルダーセンの結果を非ユニタル設定に適応すること。
• θ(1)がM(B)において可逆かつ中心的であることを証明し、θ = θ(1)φ（全射代数同型φ）の因数分解を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数間のゼロ積を保存する写像が、いつジョルダン同型を誘導するか？
• RQ2 C*-代数間の全単射ゼロ積を保存する写像が、いつジョルダン代数の同型であるか？
• RQ3 このような写像が、単なるジョルダン同型ではなくC*-代数同型を誘導するのはいつか？
• RQ4 ユニットまたは単位元の存在が、ゼロ積を保存する写像の構造に与える影響は何か？
• RQ5 C*-代数において、d-同型と*-同型の関係は何か？

主な発見

• 有界線形写像θ: A → Bが自己随伴元のゼロ積を保存し、全単射であれば、θはジョルダン同型である。
• 2つのC*-代数がジョルダン代数として同型であるための必要十分条件は、それらの間に自己随伴元のゼロ積を保存する全単射有界線形写像が存在することである。
• θが全単射であり、完全なゼロ積構造（ab=0 ⇒ θ(a)θ(b)=0）を保存する場合、AとBはC*-代数としても同型である。
• 写像θ(1)はM(B)において中心的かつ可逆的であり、θ = θ(1)φ（全射代数同型φ）の因数分解が可能である。
• C*-代数において、d-同型（ゼロ積保存を介して）は*-同型と同値である。
• 乗算子代数および双対双対拡張を用いることで、ユニタルC*-代数に関する先行研究を非ユニタルの場合に拡張した。