[論文レビュー] Zero range potential for particles interacting via Coulomb potential: application to electron positron annihilation

S. L. Yakovlev, V. A. Gradusov|arXiv (Cornell University)|May 27, 2012

Muon and positron interactions and applications参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Lippmann-Schwinger型の積分方程式を用いて、クーロン相互作用を受ける2粒子系に対して、数学的に厳密なゼロレンジ・ポテンシャルを構築する。この方法により、波動関数の原点における正確な漸近的挙動が導かれる。得られた擬似ポテンシャルを用いることで、非相対論的シュレーディンガー方程式内での電子・陽電子対消滅の摂動的取り扱いが可能となり、光学定理はクーロン力と虚数の吸収的ポテンシャルを含む状況に一般化される。これにより、消滅断面積のモデル化に堅固な基礎が提供される。

ABSTRACT

The zero range potential is constructed for a system of two particles interacting via the Coulomb potential. The singular part of the asymptote of the wave function at the origin which is caused by the common effect of the zero range potential singularity and of the Coulomb potential is explicitly calculated by using the Lippmann-Schwinger type integral equation. The singular pseudo potential is constructed from the requirement that it enforces the solution to the Coulomb Schrödinger equation to possess the calculated asymptotic behavior at the origin. This pseudo potential is then used for constructing a model of the imaginary absorbing potential which allows to treat the annihilation process in positron electron collisions on the basis of the non relativistic Schrödinger equation. The functional form of the pseudo potential constructed in this paper is analogous to the well known Fermi-Breit-Huang pseudo potential. The generalization of the optical theorem on the case of the imaginary absorbing potential in presence of the Coulomb force is given in terms of the partial wave series.

研究の動機と目的

• クーロン相互作用を有する2体系に対して、数学的に一貫したゼロレンジ・ポテンシャルを構築すること。
• クーロン力とゼロレンジ特異性の両方を考慮した短距離における波動関数の正確な漸近的挙動を導出すること。
• 原点における正しい特異的境界条件を強制するための擬似ポテンシャルを構築すること。
• 非相対論的枠組み内での電子・陽電子対消滅を、この擬似ポテンシャルを用いてモデル化すること。
• クーロン力と虚数の吸収的ポテンシャルを含む系に対して、光学定理を一般化すること。

提案手法

• クーロン相互作用系における r → 0 の極限における波動関数の特異的漸近形を特定するため、Lippmann-Schwinger積分方程式を解く。
• シュレーディンガー方程式にこのポテンシャルを組み込むことで、原点における正しい特異的波動関数挙動を再現する擬似ポテンシャル W_s(r) を導出する。
• 消滅過程をモデル化するため、この擬似ポテンシャルのデルタ関数的形を摂動的に取り扱う。
• 陽電子・電子消滅をモデル化するため、虚数の吸収的ポテンシャルを擬似ポテンシャルの形で導入する。
• 部分波分解を適用し、散乱振幅の虚数部から消滅断面積を導出する。
• 光学定理をクーロン力と虚数の吸収的ポテンシャルを含む状況に一般化し、消滅率を原点における波動関数の値で表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長距離クーロン相互作用を有する系に対して、どのように一貫したゼロレンジ・ポテンシャルを定式化できるか？
• RQ2 クーロン力とゼロレンジ特異性の両方が存在する場合、原点における波動関数の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ3 どのようにして、この特異的境界条件を強制する擬似ポテンシャルを構築できるか？
• RQ4 得られた擬似ポテンシャルを非相対論的シュレーディンガー方程式内で電子・陽電子対消滅をモデル化するために使用できるか？
• RQ5 クーロン力と虚数の吸収的ポテンシャルを含む系に対して、光学定理をどのように一般化できるか？

主な発見

• Lippmann-Schwinger型積分方程式を用いて、クーロン力とゼロレンジポテンシャルの両方の効果を組み合わせた結果、原点における波動関数の特異的漸近挙動が導出され、修正された 1/r 特異性が示された。
• 擬似ポテンシャルは、Fermi-Breit-Huang ポテンシャルに類似した形 W_s(r) = δ(r) d/dr (r) として構築され、正しい境界条件が強制される。
• 消滅断面積は σ_ann = -g/k |β|² として導出され、β は原点における波動関数に比例するため、消滅の摂動的取り扱いが可能になる。
• 光学定理は σ_ann = -g/k |β|² に一般化され、β は波動関数によって定義されるため、消滅を伴う系においてもフラックス保存が一貫して保たれる。
• 虚数の吸収的ポテンシャルを摂動的に取り扱うと、デルタ関数的形が得られ、原子内での陽電子消滅モデルにその使用が正当化される。
• 導出過程で、光学定理の2次補正項が消えることが確認され、消滅断面積の最終形が妥当であることが検証された。