[論文レビュー] Zeros and factorizations of quaternion polynomials: the algorithmic approach

Vladimir Bolotnikov|arXiv (Cornell University)|May 13, 2015

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、クォータニオン多項式のゼロ構造を左ゼロと右ゼロ、球面的因子、分解不能因子の特徴づけによって分析するアルゴリズム的枠組みを提示する。この枠組みにより、これらの成分を計算するアルゴリズム、所望のゼロ構造を持つ多項式の構成、最小公倍子の計算が可能となり、非可換クォータニオン上での因数分解に対して体系的なアプローチが提供される。

ABSTRACT

It is known that polynomials over quaternions may have spherical zeros and isolated left and right zeros. These zeros along with appropriately defined multiplicities form the zero structure of a polynomial. In this paper, we equivalently describe the zero structure of a polynomial in terms of its left and right spherical divisors as well as in terms of left and right indecomposable divisors. Several algorithms are proposed to find left/right zeros and left/right spherical divisors of a quaternion polynomial, to construct a polynomial with prescribed zero structure and more generally, to construct the least left/right common multiple of given polynomials. Similar questions are briefly discussed in the setting of quaternion formal power series.

研究の動機と目的

• 非可換性のため、可換体上よりも本質的に複雑であるクォータニオン多項式のゼロ構造を決定する体系的でアルゴリズム的なアプローチを開発すること。
• 左および右球面的因子、左および右分解不能因子を用いたゼロ構造の特徴づけを通じて、因数分解のための新しい代数的枠組みを提供すること。
• 指定された孤立ゼロおよび球面的ゼロ（それぞれの重複度を含む）をもつクォータニオン多項式の構築を可能にすること。
• 与えられたクォータニオン多項式の最小公倍左/右因子を計算するためのアルゴリズムを提供することにより、古典的なLCM概念を非可換設定に拡張すること。
• クォータニオン上の形式的べき級数へこの枠組みを拡張し、類似する構造的およびアルゴリズム的性質を探索すること。

提案手法

• ゼロの共役類に基づいて左および右球面的因子を定義する。球面的因子は、すべてが多項式のゼロである共役クォータニオンの2次元球面に対応する。
• 共役類 $ V $ に対して、特徴多項式 $ \mathcal{X}_V(z) = z^2 - 2z \cdot \operatorname{Re}(\alpha) + |\alpha|^2 $ を用い、$ V $ 上で消えるすべての多項式の両側イデアルを生成する。
• 実係数をもつ複素多項式の根の探索に帰着することで、左および右ゼロを計算するためのアルゴリズム（アルゴリズム3.4）を開発する。
• 共役とモビウス型写像を繰り返し適用する変換を用いて、与えられたゼロ構造を持つ多項式を再帰的に構築するアルゴリズムを構築する。
• 因数分解を共役ゼロの鎖を通じて伝播させるために、恒等式 $ \phi_k \boldsymbol{\rho}_{\alpha'_k} {\bf k}_{\beta_k} = {\bf k}_{\delta_k} \phi_{k+1} $ を利用する。
• 左/右イデアルの交差を用いた最小公倍子（lcm）構成法を適用する：$ \operatorname{lrcm}(f,g) $ は $ \langle f \rangle_r \cap \langle g \rangle_r $ のモニック生成元であり、左lcmに対しても同様の定義が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クォータニオン多項式のゼロ構造は、左および右球面的因子を用いてどのようにアルゴリズム的に特徴づけられるか？
• RQ2 与えられたクォータニオン多項式のすべての左および右ゼロを計算するためのアルゴリズム的手順は何か？
• RQ3 指定された孤立ゼロおよび球面的ゼロとその重複度をもつクォータニオン多項式をどのように構築できるか？
• RQ4 2つ以上のクォータニオン多項式の最小公倍左/右因子を計算するためのアルゴリズム的手法は何か？
• RQ5 クォータニオン上の形式的べき級数において、クォータニオン多項式の構造的およびアルゴリズム的性質はどのように拡張されるか？

主な発見

• クォータニオン多項式のゼロ構造は、すべて左および右球面的因子によって完全に決定され、これらはゼロの共役類に対応する。
• 共役鎖とモビウス型変換に基づく再帰的因数分解を用いることで、所望のゼロ構造を持つ多項式をアルゴリズム的に構築できる。
• 2つのクォータニオン多項式の最小公倍右因子は、それらの右イデアルの交差のモニック生成元であり、その計算を可能にするアルゴリズムが提示されている。
• 左/右ゼロを求めるアルゴリズムは、実係数多項式の複素根の探索に帰着され、本稿で新たに導入された手法（アルゴリズム3.4）を用いる。
• この枠組みは形式的べき級数へも拡張可能であり、類似した構造的およびアルゴリズム的性質が成り立つことが示唆され、より広範な適用可能性を示している。
• 本稿では、任意のモニッククォータニオン多項式が、線形項 $ (z - \gamma_k) $ の積として因数分解可能であり、ゼロ集合が $ \gamma_k $ の共役類の和集合に含まれることを証明している。