[論文レビュー] Zeros of partial sums of the Riemann zeta-function

S. M. Gonek, Andrew Ledoan|ArXiv.org|Jun 30, 2008

Analytic Number Theory Research被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、リーマン・ゼータ関数の部分和 $ F_X(s) = \sum_{n \leq X} n^{-s} $ の零点の分布を調査し、高さ $ T $ までの零点数、垂直線 $ \sigma $ の右側における水平的分布、および平均実部についての漸近的・上界評価を確立する。主な結果として $ N_X(T) \sim \frac{T}{2\pi} \log X $ と、零点が $ X \to \infty $ のとき臨界線に集積することを示す。解析には、補題の原理、リトルウッドの補題、ディリクレ多項式の平均値推定が用いられる。

ABSTRACT

We investigate the distribution of the zeros of partial sums of the Riemann zeta-function, sum_{n\leq X}n^{-s}, estimating the number of zeros up to height T, the number of zeros to the right of a given vertical line, and other aspects of their horizontal distribution.

研究の動機と目的

• リーマン・ゼータ関数の部分和 $ F_X(s) = \sum_{n \leq X} n^{-s} $ の零点の分布を理解すること、特に臨界帯における分布を対象とする。
• 高さ $ T $ までの零点数 $ N_X(T) $ および垂直線 $ \sigma $ の右側にある零点数 $ N_X(\sigma, T) $ を、$ X, T \to \infty $ の下で一様に推定すること。
• 零点の平均実部およびその水平的集中度を分析し、特に $ \sigma = 1/2 $ に近づくかどうかを検討すること。
• 部分和に関する既知の零点自由領域および密度定理を、複素解析および乗法的数論の道具を用いて拡張すること。

提案手法

• 長方形領域に沿ったコーシーの補題を適用し、境界上の引数の変動に関する評価を用いて、$ N_X(T) = \frac{T}{2\pi} \log X + O(X) $ を導出する。
• 関数 $ h_X(s) = 1 - f_X^2(s) $ に対してリトルウッドの補題を適用し、$ f_X(s) = F_X(s) M_Y(s) - 1 $ を定義することで、零点密度を $ |F_X(s)| $ の対数積分と関連付ける。
• 算術幾何平均不等式およびモンゴメリー＝ヴォーレンの平均値定理を用いて、$ \sigma < 1/2 $ の場合の $ \int_0^T \log |F_X(\sigma + it)| \, dt $ を評価する。
• 三角多項式へのデカルトの符号の法則の一般化を用いて、$ \Im F_X(\sigma + iT) $ の符号変化回数を制御し、領域の上端における引数の変動を制御する。
• モービウス関数 $ \mu(n) $ を用いたディリクレ多項式近似を構成し、$ f_X(s) = F_X(s) M_Y(s) - 1 $ を定義することで、零点自由領域および密度を分析する。
• 対数積分および $ |F_X(\sigma + it)| $ の推定を用いて、$ \sum_{\beta_X > \sigma} (\beta_X - \sigma) $ の上界を導出し、$ N_X(\sigma, T) $ の評価に繋げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高さ $ T $ までの $ F_X(s) $ の零点数 $ N_X(T) $ の漸近的挙動は何か？ また、$ X $ と $ T $ に従ってどのように増加するか？
• RQ2 $ F_X(s) $ の零点は水平方向にどのように分布しているか？ 特に、実部 $ \geq \sigma $ である零点数 $ N_X(\sigma, T) $ は？
• RQ3 $ F_X(s) $ の零点の平均実部は何か？ また、$ X \to \infty $ のとき $ 1/2 $ に近づくか？
• RQ4 $ \sigma < 1/2 $ のとき、$ \sum_{\beta_X > \sigma} (\beta_X - \sigma) $ の漸近的推定が得られるか、それとも上界のみが可能か？
• RQ5 $ F_X(s) $ の零点自由領域は何か？ また、$ X $ に依存してどのように変化するか？

主な発見

• 高さ $ T $ までの $ F_X(s) $ の零点数は、$ N_X(T) = \frac{T}{2\pi} \log X + O(X) $ を満たし、$ X $ に対して対数的増加、$ T $ に対して線形増加を示す。
• $ \sigma \geq \frac{1}{2} + \frac{1}{\log T} $ のとき、実部 $ \geq \sigma $ である零点数は $ N_X(\sigma, T) = O(T X^{1-2\sigma} \log^6 T) $ を満たし、$ \sigma $ が $ 1/2 $ を超えると密度が減少することが示される。
• $ X \ll T^{1/2} $ のとき、零点の平均実部は $ \frac{1}{N_X(T)} \sum_{0 < \gamma_X \leq T} \beta_X = O\left( \frac{1}{\log X} \right) $ を満たし、$ X \to \infty $ のとき臨界線に集積することが示唆される。
• $ \sigma < 1/2 $ のとき、和 $ \sum_{\beta_X > \sigma} (\beta_X - \sigma) $ は上界として $ \left( \frac{1}{2} - \sigma \right) \frac{T}{2\pi} \log X - \frac{T}{4\pi} \log(1 - 2\sigma) + O((\sigma + 1)X) + O(T) $ を満たす。
• 零点の実部の和は $ \sum_{0 < \gamma_X \leq T} \beta_X = O(T) + O(X^2) $ を満たし、$ X \ll T^{1/2} $ のとき、平均実部は $ X \to \infty $ のとき 0 に近づく。
• $ \sigma < 1/2 $ のとき、$ \sum_{\beta_X > \sigma} (\beta_X - \sigma) \sim \left( \frac{1}{2} - \sigma \right) \frac{T}{2\pi} \log X $ が漸近的に成り立つかどうかは、未解決であり、$ \int_0^T \log |F_X(\sigma + it)| \, dt $ のより鋭い推定が必要である。