[論文レビュー] Zeros of polynomials orthogonal on several intervals

Franz Peherstorfer|ArXiv.org|Mar 28, 2002

Mathematical functions and polynomials参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複数の区間における直交多項式の零点分布に関する長年の未解決問題を、各区間における零点数の正確な公式および区間の間隔に零点が現れるための基準を導出することによって解決する。調和測度とリーマン面上のヤコビ逆問題を用いて、調和測度が有理数的に独立である場合、ギャップ内のすべての点が零点の集積点であることを証明する。そうでない場合、そのような点は有限個に限られる。

ABSTRACT

First a formula for the number of zeros of the orthogonal polynomial in the intervals is presented. Then a criteria about the appearance of a zero in a gap is given. Finally a necessary and sufficient condition is derived such that the zeros of the orthogonal polynomials have given accumulation points in the gaps. As a consequence it follows that every point from the gaps is an accumulation point of the zeros of the orthogonal polynomials, if the harmonic measures of the intervals are linearly independent over the rationals. If the harmonic measures are rational then there is a finite number of accumulation points only.

研究の動機と目的

• 互いに不交な区間の和集合における各部分区間における直交多項式の正確な零点数を特定すること。
• 特に、ギャップに零点が集積するかどうかを含め、区間の間隔に零点が現れる条件を確立すること。
• 調和測度の有理数的独立性に基づいて、ギャップにおける零点の集積点集合を特徴づけること。
• リーマン面理論およびポテンシャル論の高度な道具を用いて、単一区間における古典的結果をより複雑な複数区間の状況に拡張すること。

提案手法

• 重み関数の対数的平均値と調和測度 $\omega_j(\infty)$ を用いて、各区間 $E_j$ における零点数の公式を導出する。
• リーマン面上のグリーン関数と $y^2 = H(x)$ で定義されるリーマン面の理論を応用して、直交多項式の漸近的挙動を分析する。
• リーマン面上のヤコビ逆問題を用いて、零点の位置とその集積に関する情報を符号化する。
• ベルンシュタイン＝シュレーディンガー重み関数による近似を用いて、一般の場合を既知の漸近的表現と結びつける。
• 同時ディオファントス近似に関するクロネッカーの補題を用いて、ヤコビ逆問題の解の収束を制御する。
• 正規直交多項式およびその漸近展開の一様な評価を用いて、ギャップにおける集積点の存在と位置を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直交多項式 $p_n$ は、和集合 $E = \bigcup_{j=1}^l E_j$ の各区間 $E_j$ にいくつの零点をもつのか？
• RQ2 多項式 $p_n$ の零点が区間 $(a_{2j}, a_{2j+1})$ に現れる条件は何か？
• RQ3 多項式 $p_n$ の零点の集積点の集合が区間 $[a_{2j}, a_{2j+1}]$ で稠密になるのはいつか？
• RQ4 調和測度が有理数的従属である場合、ギャップにおける零点の集積点集合の構造はいかなるものか？
• RQ5 ポテンシャル論的および代数的幾何学的道具を用いて、すべての $n$ に対して零点分布を一様に特徴づけることは可能か？

主な発見

• 多項式 $p_n$ の各区間 $E_j$ における零点数は、$\left\lfloor n \omega_j(\infty) + \frac{1}{n} \log \left| \int_E \log |W| \, d\mu_e \right| \right\rfloor$ または調和測度と重みの平均値を含む類似の式で与えられる。
• 多項式 $p_n$ が区間 $(a_{2j}, a_{2j+1})$ に零点をもつのは、関連するヤコビ逆問題の解がリーマン面の対応する枝上にあるとき、かつそのときに限る。
• 調和測度 $\omega_1(\infty), \dots, \omega_{l-1}(\infty)$ が $\mathbb{Q}$ 上で線形独立であるならば、$[a_1, a_{2l}] \setminus E$ のすべての点が $p_n$ の零点の集積点である。
• 調和測度が有理数的、すなわち $\omega_j(\infty) = k_j/N$ であるならば、各ギャップにおける集積点の数は最大で $N + 2$ 個である。
• 正規直交多項式 $P_n$ の漸近的挙動は、グリーン関数およびリーマン面 $y^2 = H(x)$ 上のヤコビ逆問題の解によって支配される。
• ある種のディオファントス的条件を満たす列 $n_\kappa$ に対して、$P_{n_\kappa}$ の零点をギャップ内の任意の有限集合に正確に集積させることができる。