[論文レビュー] Zeros of Sections of Some Power Series

Antonio R. Vargas|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2012

Mathematical functions and polynomials参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、指数積分を用いて定義される整関数のべき級数の部分和の零点の漸近的分布を調査する。変数を n でスケーリングすることで、正規化された零点の明示的な極限曲線を導出し、その挙動が被積分関数内の臨界点の順序に強く依存することを示す。主要な結果はベッセル関数および退化超幾何関数へと拡張可能であり、本番にベッセル関数のこの文脈における最初の厳密な解析を提供する。

ABSTRACT

For a power series which converges in some neighborhood of the origin in the complex plane, it turns out that the zeros of its partial sums---its sections---often behave in a controlled manner, producing intricate patterns as they converge and disperse. We open this thesis with an overview of some of the major results in the study of this phenomenon in the past century, focusing on recent developments which build on the theme of asymptotic analysis. Inspired by this work, we derive results concerning the asymptotic behavior of the zeros of partial sums of power series for entire functions defined by exponential integrals of a certain type. Most of the zeros of the n'th partial sum travel outwards from the origin at a rate comparable to n, so we rescale the variable by n and explicitly calculate the limit curves of these normalized zeros. We discover that the zeros' asymptotic behavior depends on the order of the critical points of the integrand in the aforementioned exponential integral. Special cases of the exponential integral functions we study include classes of confluent hypergeometric functions and Bessel functions. Prior to this thesis, the latter have not been specifically studied in this context.

研究の動機と目的

• 指数積分によって定義される整関数のべき級数の部分和の零点の漸近的挙動を分析すること。
• n によるスケーリング後に正規化された零点の極限曲線を特定すること、特にその曲線が被積分関数内の臨界点の順序にどのように依存するかに焦点を当てる。
• シュツルツェ曲線に関する既知の結果を、ベッセル関数および退化超幾何関数を含む新しい関数クラスへと拡張すること。
• 本番に、この文脈におけるベッセル関数の部分和の零点に関する最初の詳細な漸近的解析を提供すること。
• この手法を他の整関数へ一般化し、反復的応用の可能性を検討すること。

提案手法

• n による変数のスケーリングを用いて、n 番目の部分和の零点の極限挙動を調べる。
• 漸近的解析とウォートンの補題を用いて、指数積分表現から整関数およびその尾を近似する。
• エンストレーム＝カケヤの定理を適用して零点の位置を制限し、収束半径内での収束を保証する。
• 複素平面上での方程式 |ze^{1−z}| = 1 の解析により、シュツルツェ曲線を正規化された零点の極限集合として導出する。
• ベッセル関数の既知の漸近展開を用いて、虚軸上および実数区間における極限点の挙動を検証する。
• 変換恒等式を用いて、ベッセル関数の断片を、零点分布が既知の多項式と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数積分から導かれるべき級数の部分和の零点は、n → ∞ のときどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 n によるスケーリング後の正規化された零点の極限曲線の形状と構造は、何によって決定されるか？
• RQ3 指数積分の被積分関数内の臨界点の順序は、零点の漸近的分布にどのように影響するか？
• RQ4 指数積分に対して用いられた手法を、これまでこの文脈で未検討であったベッセル関数へと拡張可能か？
• RQ5 極限曲線の導出において、全列 {n} の代わりに部分列 {N} を用いるために必要な条件は何か？

主な発見

• f(z) = exp(z) のとき、正規化された部分和 s_n(f; nz) の零点は、|ze^{1−z}| = 1 で定義される曲線、いわゆるシュツルツェ曲線上に集積する。
• ベッセル関数 J_α に対して、正規化された断片 s_N(J_α; Nz) は、実数区間 [−1/e, 1/e] 上に極限点を持ち、そのすべての点が零点の極限点である。
• 複素平面上にあり、z = −i に収束しない s_n(J_α; nz) の零点は、N → ∞ のとき |ze^{1−iz}| = 1 + (log N)/(2N) + O(1/N) を満たす。
• 実数 α に対して、極限結果における部分列 {N} の使用は、元の偶数添え字列 {n} に置き換え可能であり、漸近的挙動は保たれる。
• この手法は、既知の漸近的性質を持つ他の整関数へ一般化可能であり、エンストレーム＝カケヤの定理により、零点が収束半径内に閉じ込められることを保証する。
• この解析は、F_m(z) = ∫ φ(t)e^{z^m t} dt のような高階の指数積分へも拡張可能であり、さらなる一般化の可能性を示唆する。