[論文レビュー] Zeros of the Wigner Distribution and the Short-Time Fourier Transform

Karlheinz Gröchenig, Philippe Jaming+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2018

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 41被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、Wigner分布および短時間フーリエ変換の零点集合を調査し、特定の非ガウス関数—特に一般化ガウス関数、完全正則関数（例：指数関数の畳み込み）および注意深く構築された有界段階関数—が零点なしのWigner分布をもたらすことを証明している。主な貢献は、関数がガウス関数でない場合でさえもWigner分布が恒久的にゼロにならない明示的例の構成であり、これによりHurwitz多項式、修正ベッセル関数、およびハドゥックの定理との深い関係が明らかになった。

ABSTRACT

We study the question under which conditions the zero set of a (cross-) Wigner distribution W (f, g) or a short-time Fourier transform is empty. This is the case when both f and g are generalized Gaussians, but we will construct less obvious examples consisting of exponential functions and their convolutions. The results require elements from the theory of totally positive functions, Bessel functions, and Hurwitz polynomials. The question of zero-free Wigner distributions is also related to Hudson's theorem for the positivity of the Wigner distribution and to Hardy's uncertainty principle. We then construct a class of step functions S so that the Wigner distribution W (f, 1 (0,1)) always possesses a zero f $\in$ S $\cap$ L p for p < $\infty$, but may be zero-free for f $\in$ S $\cap$ L $\infty$. The examples show that the question of zeros of the Wigner distribution may be quite subtle and relate to several branches of analysis.

研究の動機と目的

• Wigner分布 W(f, g) や短時間フーリエ変換 V_g f の零点集合が空集合であるための条件を特定すること。
• 一般化ガウス関数以外の関数が零点なしのWigner分布をもたらすという常識をくつがえすために、非ガウス関数の例を構成すること。
• 零点なしのWigner分布と調和解析における既知の定理（例：ハドゥックの定理、ハーディーの不確実性原理）との関係を調査すること。
• 可積分性と滑らかさが、特に g が区間の特性関数である場合の零点の存在に与える影響を調査すること。
• 段階関数とそのフーリエ変換の文脈において、凸性、ほぼ周期性、および零点集合の相関関係を分析すること。

提案手法

• 完全正則関数の理論を用いて、片側指数関数およびその畳み込みから零点なしのWigner分布を構成する。
• 修正ベッセル関数およびHurwitz多項式の性質を適用し、特定のWigner分布（例：f(t) = t^n e^{-t} 1_{(0,∞)}）が零点なしであることを検証する。
• メタプレクティック作用素およびシンプレクティック不変性を用いて、Wigner分布、あいまい性関数、短時間フーリエ変換の零点集合を関連付ける。
• 凸結合およびほぼ周期性の議論を用いて、Z ∪ αZ（α は無理数）に不連続点を持つ L^p 段階関数に対して、STFT が常に零点を持つことを示す。
• Z ∪ αZ（α は無理数）にジャンプを持つ特定の有界 L^∞ 段階関数 f を構成し、無理数回転と三角恒等式に基づく繊細な議論により、V_{1_{(0,1)}} f が零点なしであることを示す。
• 複素解析および単位円板における凸性を用いて、段階関数のフーリエ変換を分析し、フーリエ係数がゼロになるための条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ガウス関数 f および g が、零点なしのWigner分布 W(f, g) をもたらすことは可能か？
• RQ2 完全正則性、修正ベッセル関数、Hurwitz多項式は、Wigner分布における零点の不在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ3 g が特性関数である場合、可積分性クラス（L^p 対 L^∞）が短時間フーリエ変換における零点の存在に与える影響は何か？
• RQ4 Wigner分布の零点集合は、非負のWigner分布に関するハドゥックの定理とどの程度関連しているか？
• RQ5 Z ∪ αZ（α は無理数）に不連続点を持つ有界段階関数 f ∈ L^∞(R) が、g = 1_{(0,1)} に対して零点なしの短時間フーリエ変換をもたらすことは可能か？

主な発見

• f(t) = t^n e^{-t} 1_{(0,∞)} のような非ガウス関数（例：片側指数関数の畳み込み）に対して、Wigner分布が零点なしである例が存在する。
• f(t) = t^n e^{-t} 1_{(0,∞)} のWigner分布は修正ベッセル関数を因数に含み、関連する多項式のHurwitz性によりその零点なし性が保証される。
• Z ∪ αZ（α は無理数）に不連続点を持つ f ∈ L^p(R)（p < ∞）に対して、短時間フーリエ変換 V_{1_{(0,1)}} f は常に零点を持つ。
• Z ∪ αZ（α は無理数）にジャンプを持つ有界 L^∞ 段階関数 f を構成し、V_{1_{(0,1)}} f が零点なしであることを示した。これは、零点集合が可積分性に敏感であることを示している。
• 3つの区間を持つ段階関数 f のフーリエ変換の零点集合は、区間の端点が有理関係にある場合に空でないが、無理関係の場合は特定の係数条件を満たすと零点を回避できる。
• 段階関数の係数列 (c_k) が単調である場合、STFT V_{1_{(0,1)}} f は零点なしであるが、(c_k) が単調でない場合、フーリエ変換における凸性の失敗により零点が存在する。