[論文レビュー] Zeros of weakly holomorphic modular forms of levels 2 and 3

Sharon Anne Garthwaite, Paul M. Jenkins|arXiv (Cornell University)|May 31, 2012

Holomorphic and Operator Theory参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、レベル2および3の弱正則モジュラー形式の零点の位置を、線積分と母関数を用いて研究する。重さとレベルが十分に大きい場合、基本領域内の非自明な零点の大部分が下側境界弧上に位置することを示す。この手法は、コーシーの留数定理を用いてモジュラー形式をコサイン関数で近似することに依存し、十分に大きな $ n $ に対して誤差項が指数関数的に減衰する。これにより、零点の精密な局在化結果が得られる。

ABSTRACT

Let $M_k^\sharp(N)$ be the space of weakly holomorphic modular forms for $Γ_0(N)$ that are holomorphic at all cusps except possibly at $\infty$. We study a canonical basis for $M_k^\sharp(2)$ and $M_k^\sharp(3)$ and prove that almost all modular forms in this basis have the property that the majority of their zeros in a fundamental domain lie on a lower boundary arc of the fundamental domain.

研究の動機と目的

• 弱正則モジュラー形式の零点の分布を、$ \Gamma_0(2) $ および $ \Gamma_0(3) $ の基本領域内で調査すること。
• イーゼンスタイン級数やヘッケ固有形式の技術を、$ M_k^\sharp(2) $ および $ M_k^\sharp(3) $ の標準基底へと拡張すること。
• 基本領域内の零点の大部分が特定の境界弧、特に下側境界上に位置するかどうかを特定すること。
• 解析的近似を用いて、これらのモジュラー形式の零点が円弧上に漸近的に局在化する条件を確立すること。
• 幾何的複雑性が増すものの、この手法を $ N = 5, 7, 13 $ の高レベルへ一般化する可能性を検討すること。

提案手法

• $ M_k^\sharp(N) $ の標準基底 $ f_{k,n}^{(N)}(z) $ および $ g_{k,n}^{(N)}(z) $ を、初期フーリエ係数 $ q^{-n} + O(q^{2\ell + \lfloor k'/3 \rfloor + 1}) $ で定義する。
• モジュラー形式と線積分を結びつける母関数を用い、$ j $-関数の母関数に類似した形をとる。
• コーシーの留数定理を適用し、一般化された母関数を含む線積分としてモジュラー形式を表現する。
• 点 $ z = -1/N + (1/N)e^{i\theta} $ および $ z/(Nz+1) $ の下に位置する水平な線分を選択し、$ \Gamma_0(N) $ による他の像をすべて避けるようにする。
• 積分の剰余項の絶対値を、$ e^{-\pi n(\frac{2}{N}\sin\theta - 2A')} $ という指数的減衰項を因数分解することで評価し、$ n $ が十分に大きい場合にはこれが支配的になるようにする。
• 重み付きモジュラー形式とコサイン関数との差が2未満であることを証明し、これによりモジュラー形式の零点がコサイン関数の零点に近いことが示され、それらは $ |z + 1/N| = 1/N $ の弧上に位置する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ M_k^\sharp(2) $ の弱正則モジュラー形式の非自明な零点の大部分が、基本領域の下側境界弧上に位置するか？
• RQ2 線積分によるモジュラー形式のコサイン関数への近似手法を、レベル3のモジュラー形式へ拡張可能か？
• RQ3 どの $ n $ と $ \ell $ の値に対して、近似の誤差が十分に小さくなり、境界弧上の零点局在化を保証できるか？
• RQ4 基本領域の幾何的複雑性が増すため、この零点局在化技法を $ N = 5, 7, 13 $ へ一般化することは可能か？
• RQ5 $ n \to \infty $ のとき、下側境界弧上に位置する零点の漸近的割合はどの程度か？

主な発見

• $ N = 2 $ の場合、$ \ell \geq 0 $ かつ $ n \geq 14\ell + 7 $、または $ \ell < 0 $ かつ $ n \geq 15|\ell| + 7 $ ならば、$ n + \lfloor \frac{k}{4} \rfloor - 1 $ 個の非自明な零点のうち、少なくとも $ \lfloor \frac{k}{6} + n\frac{\sqrt{3}}{2} \rfloor $ 個が下側境界弧上に位置する。
• $ N = 3 $ の場合、線分の高さが $ \frac{1}{9} $ に近づき、$ z $ が線分に近づくと、下側境界弧上に明確に局在化された零点の数は $ 0.9618n + 0.2792k $ に近づく。
• $ k $ を固定したまま $ n \to \infty $ とするとき、下側境界弧上に位置する零点の割合は約96.18%の $ n $ に近づき、強い局在化傾向が示される。
• 誤差項の指数的減衰は、線分の高さの選択に起因し、$ n $ が十分に大きい場合には、モジュラー形式とコサイン近似との差が2未満であることが保証される。
• 結果は $ f_{k,n}^{(3)}(z) $ および $ g_{k,n}^{(3)}(z) $ の両方に対して成り立ち、同じ漸近的零点分布を持つ。
• 基本領域の幾何的複雑性が増すため、この手法は $ N = 5, 7, 13 $ へ直接一般化できない。特に、線分の選択が困難になる。