[論文レビュー] Zeta functions and regularized determinants related to the Selberg trace formula

Arash Momeni, Alexei B. Venkov|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2011

Advanced NMR Techniques and Applications参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、第一種の単位的表現を備えたフクシアン群に対するゼータ関数、正則化された行列式、およびセルバーグの跡公式の間の新しい関係を確立する。スペクトル理論を用いて、恒等元、双曲型、楕円型、放物型の寄与に対するゼータ関数の行列式表現を導出し、ジャケ・ラングランズ対応を通じて、異なるリーマン面における自己同型ラプラシアンの行列式の恒等式を証明する。

ABSTRACT

For a general Fuchsian group of the first kind with an arbitrary unitary representation we define zeta functions related to the contributions of the identity, hyperbolic, elliptic and parabolic conjugacy classes in Selberg's trace formula. We present Selberg's zeta function in terms of a regularized determinant of the automorphic Laplacian. We also present the zeta function for the identity contribution in terms of a regularized determinant of the Laplacian on the two dimensional sphere. We express the zeta functions for the elliptic and parabolic contributions in terms of certain regularized determinants of one dimensional Schroedinger operator for harmonic oscillator. We decompose the determinant of the automorphic Laplacian into a product of the determinants where each factor is a determinant representation of a zeta function related to Selberg's trace formula. Then we derive an identity connecting the determinants of the automorphic Laplacians on different Riemannian surfaces related to the arithmetical groups. Finally, by using the Jacquet-Langlands correspondence we connect the determinant of the automorphic Laplacian for the unit group of quaternions to the product of the determinants of the automorphic Laplacians for certain cogruence subgroups.

研究の動機と目的

• 第一種のフクシアン群と単位的表現を備える場合のセルバーグの跡公式における各共役類型（恒等元、双曲型、楕円型、放物型）に関連するゼータ関数を定義すること。
• セルバーグのゼータ関数および各共役類型の寄与を、微分作用素（ラプラシアン、シュレーディンガー作用素）の正則化された行列式として表現すること。
• 自己同型ラプラシアンの正則化された行列式を、ゼータ関数に関連する行列式の積に分解すること。
• 可換なフクシアン群に対する行列式の恒等式を導出し、四元数的単位群と合同部分群の間の関係をジャケ・ラングランズ対応によって確立すること。
• 連続スペクトルおよび共振状態を有する非コンパクトかつ有限体積のリーマン面に対し、正則化された行列式の枠組みを拡張すること。

提案手法

• スペクトルゼータ正則化と解析接続を用いて、トレース公式の寄与に基づき、各共役類型（I, H, E, P）に対するゼータ関数を定義する。
• 恒等元寄与のゼータ関数を2次元球面上のラプラシアンの正則化された行列式として表現する。
• 調和振動子の1次元シュレーディンガー作用素の正則化された行列式を用いて、楕円型および放物型寄与を表現する。
• スペクトルゼータ関数と解析接続を用いて、離散固有値および連続スペクトルを組み込んだ自己同型ラプラシアンの正則化された行列式を定義する。
• 積分と級数の絶対収束を保証するため、|Im(r)| < 1/2 + ε の領域におけるテスト関数を用いてセルバーグの跡公式を適用する。
• ジャケ・ラングランズ対応を活用し、四元数代数の単位群上の自己同型ラプラシアンの行列式を、特定の合同部分群上の行列式の積と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 セルバーグの跡公式における各共役類型に関連するゼータ関数は、どのように微分作用素の正則化された行列式として表現できるか？
• RQ2 自己同型ラプラシアンの正則化された行列式と、恒等元、双曲型、楕円型、放物型の共役類からの寄与への分解との間にはどのような関係があるか？
• RQ3 可換なフクシアン群に対する行列式の恒等式は、自動形式のスペクトル理論からどのように導かれるか？
• RQ4 ジャケ・ラングランズ対応は、四元数代数の単位群上の自己同型ラプラシアンの行列式を、合同部分群上のそれらとどのように関連付けるか？
• RQ5 連続スペクトルおよび共振状態を有する非コンパクトかつ有限体積のリーマン面に対して、正則化された行列式を一貫して定義する方法は何か？

主な発見

• セルバーグのゼータ関数は、スペクトルゼータ正則化を用いて自己同型ラプラシアンの正則化された行列式として表現される。
• 恒等元寄与のゼータ関数は、2次元球面上のラプラシアンの正則化された行列式として表現される。
• 楕円型および放物型寄与は、調和振動子の1次元シュレーディンガー作用素の正則化された行列式として表現される。
• 自己同型ラプラシアンの行列式は、各共役類型に関連するゼータ関数に付随する行列式の積に分解される。
• コンパクトな群の場合、跡公式は ∑h(λₖ) = I + H + E に簡略化され、連続スペクトルおよび放物型項が省かれる。
• ジャケ・ラングランズ対応により、四元数代数の単位群上の自己同型ラプラシアンの行列式と、特定の合同部分群上の行列式の積を結ぶ行列式の恒等式が得られる。