[論文レビュー] Zeta functions of groups and enumeration in Bruhat-Tits buildings

Christopher Voll|ArXiv.org|May 26, 2003

Analytic Number Theory Research参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$\mathrm{SL}_n(\mathbb{Q}_p)$ のブリュア-ティツ建築における頂点の列挙を用いて、クラス2のねじれなし冪零群（T群）の局所正規Zeta関数を計算する新しい手法を提示する。この手法により、$\mathbb{F}_p$ 上の滑らかな平面曲線の有理点の個数を用いた明示的な有理関数の公式が得られ、Zeta関数の関数等式が証明され、特定のT群に対してZeta関数が非一様であることが示された。

ABSTRACT

We introduce a new method to calculate local normal zeta functions of finitely generated, torsion-free nilpotent groups. It is based on an enumeration of vertices in the Bruhat-Tits building for Sl_n(Q_p). It enables us to give explicit computations for groups of class 2 with small centres and to derive local functional equations. Examples include formulae for non-uniform normal zeta functions.

研究の動機と目的

• クラス2のT群の局所正規Zeta関数を計算する幾何学的手法を開発すること。その際、ブリュア-ティツ建築の組合せ的構造を用いる。
• これらのZeta関数に対して、滑らかな平面曲線の$\mathbb{F}_p$-有理点の個数を用いた明示的な有理関数の公式を確立すること。
• 局所Zeta関数の関数等式を証明し、代数曲線のワイエルZeta関数と関連付けること。
• 特定の正規Zeta関数が有限一様でないことを示し、分野における重要な問いに解答すること。
• 有理関数 $W_1(X,Y)$ および $W_2(X,Y)$ の明示的公式を提供し、それらの関数等式を検証すること。

提案手法

• 本手法は、T群の $p$-冪指数をもつ極大部分群の構造を符号化する、$\mathrm{SL}_n(\mathbb{Q}_p)$ のブリュア-ティツ建築における頂点の列挙に依存する。
• Zeta関数は、極大部分群の型ごとの和として表現され、建築の幾何学的性質と関連するLie環の構造から寄与が得られる。
• 局所Zeta関数 $\zeta^\triangleleft_{G,p}(s)$ は、$W_1(p,p^{-s}) + |C(\mathbb{F}_p)|W_2(p,p^{-s})$ に分解され、ここで $C$ は $\det(R(\mathbf{y}))=0$ で定義される滑らかな平面曲線である。
• 有理関数 $W_i(X,Y)$ は、生成関数および建築の単体的構造上の $p$-進積分を用いて明示的に計算される。
• $W_i(X,Y)$ の関数等式は、曲線 $C$ のワイエルZeta関数の関数等式から導出される。
• 本手法は、ヒルシュ長が2または3の導来群をもつT群に適用可能であり、歪対称行列 $M(\mathbf{y})$ を用いた関連Lie環の提示を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クラス2のT群の局所正規Zeta関数は、幾何学的・算術的構造を用いてどのように計算できるか？
• RQ2 $\zeta^\triangleleft_{G,p}(s)$ は、滑らかな平面曲線 $C$ の $\mathbb{F}_p$-有理点の個数にどのように依存するか？
• RQ3 局所Zeta関数は関数等式を満たすか？ もしそうなら、それらは曲線 $C$ のワイエルZeta関数とどのように関連するか？
• RQ4 正規Zeta関数が有限一様でない例は存在するか？ また、それらの例を明示的に構成できるか？
• RQ5 有理関数 $W_i(X,Y)$ は明示的に計算可能か？ また、$W_i(X^{-1},Y^{-1}) = (-1)^{n_i}X^{a_i}Y^{b_i}W_i(X,Y)$ の形の関数等式を満たすか？

主な発見

• ヒルシュ長が3のクラス2のT群 $G$ に対して、$\zeta^\triangleleft_{G,p}(s) = W_1(p,p^{-s}) + |C(\mathbb{F}_p)|W_2(p,p^{-s})$ が成り立ち、ここで $C$ は $\det(R(\mathbf{y}))=0$ で定義される曲線である。
• 有理関数 $W_1(X,Y)$ および $W_2(X,Y)$ は明示的に計算され、$W_i(X^{-1},Y^{-1}) = (-1)^{n_i}X^{a_i}Y^{b_i}W_i(X,Y)$ の形の関数等式を満たす。
• 絶対的既約な曲線 $C$ の場合、局所Zeta関数は関数等式 $\zeta^\triangleleft_{G,p}(s)|_{p\to p^{-1}} = -p^{\binom{2r+3}{2} - (4r+3)s}\zeta^\triangleleft_{G,p}(s)$ を満たす。
• 本手法により、ヒルシュ長が2の導来群をもつT群のZeta関数が有限一様であることが確認され、$\zeta^\triangleleft_{G,p}(s) = \sum_{I\subseteq\{1,\dots,m\}} c_{p,I} W_I(p,p^{-s})$ と表される。ここで $c_{p,I}$ は多項式の既約因子を modulo した $\mathbb{P}^1$ 上の $\mathbb{F}_p$-点の個数を数える。
• 楕円曲線 $E: y^2 + x^3 - Dx = 0$ から得られるT群 $G(E)$ のZeta関数は有限一様でないことが示され、ドゥ・ソトイの以前の予想が裏付けられた。
• 曲線 $C$ のワイエルZeta関数の関数等式から $|C(\mathbb{F}_{p^{-1}})| = p^{-1}|C(\mathbb{F}_p)|$ が導かれる。この関係が、$G$ のZeta関数の関数等式の導出に用いられる。