[論文レビュー] Zeta functions of Ramanujan graphs and modular forms

Kennichi Sugiyama|arXiv (Cornell University)|May 10, 2019

Graph theory and applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限体上でのラマヌジャングラフの伊原ゼータ関数とモジュラー曲線 $X_0(N)$ のハッセ＝ヴェイユゼータ関数の間の深い関係を確立する。ブランドト行列を用いて、$N \equiv 1 \pmod{12}$ のとき、$p+1$ 正則ラマヌジャングラフ $G_N(p)$ を構成することで、両ゼータ関数が互いに逆数の関係にあり、重み 2 のヘッケ固有形式のフーリエ係数に関する合同式を導出し、類数公式の類似を通じてグラフの複雑さとモジュラー形式を結びつける。

ABSTRACT

We will investigate the relationship between Ihara's zeta functions of Ramanujan graphs and Hasse-Weil's congruent zeta functions of modular curves. As an application we will describe the limit value of Hasse-Weil's congruent zeta functions in terms of the corresponding Ramanujan graphs. Moreover we will show a congruence relation of the Fourier coefficients of a normalized Hecke eigenform of weight 2.

研究の動機と目的

• 有限体上でのラマヌジャングラフの伊原ゼータ関数とモジュラー曲線のハッセ＝ヴェイユゼータ関数との関係を調査すること。
• $N \equiv 1 \pmod{12}$ のとき、上位特異楕円曲線のブランドト行列から、ラマヌジャングラフ $G_N(p)$ の族を構成すること。
• $G_N(p)$ のゼータ関数と $X_0(N)_\mathbb{F_p}$ のゼータ関数の間の逆数関係を確立し、類数公式の類似を一般化すること。
• $\Gamma_0(N)$ 上の重み 2 の正規化ヘッケ固有形式のフーリエ係数に関する合同式を導出すること。

提案手法

• 上位特異楕円曲線の $\overline{\mathbb{F}}_N$ 上でのヘッケ作用素 $T_p$ のブランドト行列 $B(p)$ から導かれる隣接行列を用いて、グラフ $G_N(p)$ を構成する。
• $N \equiv 1 \pmod{12}$ のとき、アイヘラー＝シュムール関係とヴェイル予想からのスペクトル評価を用いて、$G_N(p)$ が連結で $(p+1)$ 正則なラマヌジャングラフであることを証明する。
• グロテンディーク＝リーマン・ロッホのトレース公式を用いて、$X_0(N)_\mathbb{F_p}$ のハッセ＝ヴェイユゼータ関数を $l$-進エタールコホロロジーとフロベニウス作用素の形で表現する。
• ヘッケ作用素 $T_p$ の固有値にかかわる行列式の恒等式を用いて、伊原ゼータ関数 $Z(G_N(p);t)$ とハッセ＝ヴェイユゼータ関数 $W(X_0(N)_\mathbb{F_p};t)$ の間の逆数関係を確立する。
• グラフ $G_N(p)$ の複雑さ $\tau(G_N(p))$ を、ハッセ＝ヴェイユゼータ関数の $t=1$ における極限と関係づけ、類数公式の類似の式を得る。
• $\mu_N(p) = \sum_{i=1}^{n-1} a_p(f_i)$ の和について合同式を導出し、$p+1 \equiv 0 \pmod{n}$ を満たす素数 $p$ に対して $n = (N-1)/12$ で割り切れることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体上でのラマヌジャングラフの伊原ゼータ関数とモジュラー曲線のハッセ＝ヴェイユゼータ関数の間にはどのような関係があるか？
• RQ2 ラマヌジャングラフのゼータ関数を用いて、モジュラー曲線 $X_0(N)$ のハッセ＝ヴェイユゼータ関数を表現または回復できるか？
• RQ3 構成されたラマヌジャングラフ $G_N(p)$ の複雑さ $\tau(G_N(p))$ にはどのような算術的意味があるか？
• RQ4 $\Gamma_0(N)$ 上の重み 2 ヘッケ固有形式のフーリエ係数 $a_p(f_i)$ の和は、$n = (N-1)/12$ を法として合同式を満たすか？
• RQ5 グラフ隣接行列 $B(p)$ のスペクトル的性質を用いて、モジュラー形式の算術的不変量を導出できるか？

主な発見

• ハッセ＝ヴェイユゼータ関数 $W(X_0(N)_\mathbb{F_p};t)$ と伊原ゼータ関数 $Z(G_N(p);t)$ は互いに逆数の関係にあり、$W \cdot Z = \frac{1}{(1-t)^2(1-pt)^2(1-t^2)^{n(p-1)/2}}$ が成り立つ。
• $\lim_{t\to 1} (t-1)W(X_0(N)_\mathbb{F_p};t) = \frac{n \tau(G_N(p))}{p-1}$ であり、グラフの複雑さとゼータ関数の留数を結びつける。
• $G_N(p)$ は連結で $(p+1)$ 正則なラマヌジャングラフであり、非二部グラフであり、固有値は $|\lambda| \leq 2\sqrt{p}$ で有界である。
• 正規化ヘッケ固有形式のフーリエ係数 $a_p(f_i)$ は、$p+1 \equiv 0 \pmod{n}$ を満たす素数 $p$ に対して $\sum_{i=1}^{n-1} a_p(f_i) \equiv 0 \pmod{n}$ を満たす。
• $\tau(G_N(p))$ は不等式 $\frac{(√p-1)^{2(n-1)}}{n} \leq \tau(G_N(p)) \leq \frac{(√p+1)^{2(n-1)}}{n}$ を満たす。
• 数値表により、$N=37, 61, 73$ に対して $\mu_N(p) = \sum a_p(f_i)$ が $n$ で割り切れることが確認され、明示的な計算により $\mu_N(p) \in n\mathbb{Z}$ であることが示された。