[論文レビュー] Zeta-functions of weight lattices of compact connected semisimple Lie groups

Yasushi Komori, Kohji Matsumoto+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、単連結でないコンパクトな連結な半単純リー群に一般化された、重み格子のゼータ関数を導入し、ウィッテンの体積公式を単連結群を超えて拡張する。これらのゼータ関数について、偶数整数点における明示的な関数関係および体積公式を確立し、パリティ結果が成り立つ新たな例を提示し、ルート系ゼータ関数の特殊値の既知の評価を拡張する。

ABSTRACT

We define zeta-functions of weight lattices of compact connected semisimple Lie groups. If the group is simply-connected, these zeta-functions coincide with ordinary zeta-functions of root systems of associated Lie algebras. In this paper we consider the general connected (but not necessarily simply-connected) case, prove the explicit form of Witten's volume formulas for these zeta-functions, and further prove functional relations among them which include their volume formulas.

研究の動機と目的

• ウィッテンのゼータ関数および体積公式を、単連結でないコンパクトな連結な半単純リー群に一般化すること。
• 一般のコンパクトな連結な半単純リー群の重み格子に基づく多変数ゼータ関数を定義すること。
• 偶数整数点（s = 2k）におけるこれらのゼータ関数の明示的体積公式を証明すること。
• 評価公式を含み、パリティ結果を拡張するゼータ関数間の関数関係を確立すること。
• A_r、B_r、C_r（r ≤ 3）型のゼータ関数の明示的評価を、奇数整数引数を含む場合も含めて提供すること。

提案手法

• Gの重み格子に制限された根系ゼータ関数ζ_r(s; g)の部分和として、多変数ゼータ関数を定義する。
• 基本重みおよびコルートの構造を用いて、ゼータ関数を内積⟨α∨, m₁λ₁ + ⋯ + mᵣλᵣ⟩の形に表現する。
• s = 2kにおける明示的体積公式（定理3.2）を導出する。ここで、kα = kβ は、αとβが同じ長さを持つ場合に成り立つ。
• 一般化された周期的ベルヌーイ関数を用いて、特殊値を有理数係数およびπの累乗で表現する。
• A₂およびC₂型のゼータ関数間の関数関係を確立し、奇数整数点における特殊値を評価する。
• 明示的計算および記号計算を用いて、低ランクの場合（A₂、B₂、C₂、A₃、B₃、C₃）のゼータ関数を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィッテンのゼータ関数は、単連結でないコンパクトな連結な半単純リー群にどのように一般化できるか？
• RQ2 一般のコンパクトな連結な半単純リー群の重み格子上に定義されたゼータ関数の明示的体積公式はどのような形か？
• RQ3 これらのゼータ関数間の関数関係を確立し、既知の評価公式を奇数整数点へ拡張できるか？
• RQ4 単連結の場合を超えて、パリティ結果が成り立つゼータ関数の新たな例は何か？
• RQ5 A_r、B_r、C_r型のゼータ関数は、偶数および奇数整数引数においてどのように振る舞い、その明示的値は何か？

主な発見

• 本稿では、s = 2kにおける明示的体積公式（定理3.2）を証明し、同じ長さを持つ根に対してkα = kβが成り立つ場合、値がπ²ᵏⁿの有理数倍として表現されることを示している。
• A₂、B₂（≡ C₂）、A₃、B₃、C₃に対して、本稿ではゼータ関数を明示的に計算しており、奇数整数引数を含む場合も含む。
• A₂およびC₂型の関数関係により、一部のsαが奇数である点における評価が可能となり、偶数整数の場合を超えた新たな明示的公式が得られる。
• A₂型のゼータ関数は、{y₁}、{−2y₁ + y₂}、{−y₁ + y₂}の多項式として有理数係数で表現でき、次数12まで有効である。
• C₂型のゼータ関数も同様に、{2y₁ − y₂}、{−y₁ + y₂}およびその累乗を用いて有理数係数で表現でき、次数12まで有効である。
• 本結果には、パリティ結果が成り立つ新たな例が含まれており、sl(n)やA₁の場合のリーマンゼータ関数の既知の評価を拡張する。