[論文レビュー] Zeta-regularized Lattice Field Theory with Lorentzian background metrics

Tobias Hartung, Karl Jansen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ローレンツ型（ミンコフスキー）背景計量を持つ格子場理論に対して、標準的なユリディアン化要件を克服するゼータ正則化フレームワークを導入する。フーリエ積分作用素のゼータ関数を用いた経路積分のゲージ化により、ミンコフスキー時空における非摂動的計算が可能となり、調和振動子を用いた解析的・数値的妥当性評価により、複数のゲージ選択に対して一貫した基底状態エネルギーが得られ、正則化パラメータに依存しない正しい古典的極限が得られる。

ABSTRACT

Lattice field theory is a very powerful tool to study Feynman's path integral non-perturbatively. However, it usually requires Euclidean background metrics to be well-defined. On the other hand, a recently developed regularization scheme based on Fourier integral operator $\zeta$-functions can treat Feynman's path integral non-pertubatively in Lorentzian background metrics. In this article, we formally $\zeta$-regularize lattice theories with Lorentzian backgrounds and identify conditions for the Fourier integral operator $\zeta$-function regularization to be applicable. Furthermore, we show that the classical limit of the $\zeta$-regularized theory is independent of the regularization. Finally, we consider the harmonic oscillator as an explicit example. We discuss multiple options for the regularization and analytically show that they all reproduce the correct ground state energy on the lattice and in the continuum limit. Additionally, we solve the harmonic oscillator on the lattice in Minkowski background numerically.

研究の動機と目的

• ローレンツ型背景計量上における格子場理論に対して、数学的に整合性のあるゼータ正則化スキームを構築し、標準的なユリディアン形式にとどまらない拡張を図ること。
• ミンコフスキー時空における格子経路積分を正則化するため、フーリエ積分作用素のゼータ関数が満たすべき条件を同定すること。
• ゼータ正則化理論の古典的極限が正則化パrameter zに依存しないこと、物理的整合性を保証すること。
• 調和振動子をテストケースとして用い、解析的および数値的妥当性評価により、格子および連続極限における正しい基底状態エネルギーが得られることを確認すること。
• 局所的 vs. 全域的時間ゲージ、絶対可積分 vs. 分布的に正則化するゲージ族を比較し、シミュレーションにおける計算的・解析的妥当性を検討すること。

提案手法

• ゲージ関数 g(z) もしくは gΔ(z) から構成される正則関数族を用いた、格子経路積分の形式的ゼータ正則化。
• z=0 における解析的接続により、トレースクラスでない作用素に対しても τ(ϕ(z)) = Tr(ϕ(z)) を定義する作用素のゼータ関数の応用。
• ホルンダークラスのフーリエ積分作用素または同次多項式的記号として、ゲージ化された転送行列および時間発展演算子を構成し、正則性を保証すること。
• 分布的に正則化するゲージ族に対してラプラス変換を用い、ゼータ正則化期待値の計算における解析的ショートカットを可能にする。
• モンテカルロに類似たサンプリングを用いた、絶対可積分ゲージでは Rτ 上の数値積分、分布的ゲージでは球面などの多様体上での積分を用いた、格子上でのゼータ正則化経路積分の数値実装。
• z=0 における結果の外挿は、シミュレーションデータへのフィッティングにより実施され、収束性を確保するための z 依存関数の取り扱いに重点を置く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローレンツ型背景計量を持つ格子場理論に、Wick回転を回避して一貫してゼータ正則化を適用可能か？
• RQ2 ゲージ族 g(z) もしくは gΔ(z) が満たすべき条件は何か？ これにより、得られるゼータ正則化理論が適切に定義され、物理的に意味を持つようになる。
• RQ3 ゼータ正則化格子理論の古典的極限が、正則化パrameter z に依存しないか？ 物理理論として期待される性質を満たしているか？
• RQ4 局所的 vs. 全域的、可積分 vs. 分布的といった複数のゲージ選択肢が、同じ物理的結果（例：正しい基底状態エネルギー）をもたらすか？
• RQ5 数値的シミュレーションにおいて、絶対可積分ゲージと分布的に正則化するゲージ族の間で、計算上のトレードオフは何か？

主な発見

• 局所的/絶対可積分、局所的/分布的、全域的/絶対可積分、全域的/分布的の4つのゲージ族すべてにおいて、格子上での調和振動子の正しい基底状態エネルギーが得られ、物理的観測量のゲージ不変性が確認された。
• ゼータ正則化格子理論は、正しい連続極限における基底状態エネルギーを再現しており、標準的な量子力学的結果と整合性があることが検証された。
• ゼータ正則化理論の古典的極限は、正則化パrameter z に依存しない。ゲージによって導入される虚数部は、古典的極限で消えるためである。
• 分布的に正則化するゲージ族は、ラプラス変換を用いた解析的簡略化を可能にするが、球面などの多様体上での高次元数値積分を必要とする。
• 絶対可積分ゲージ族は、高次元空間 Rτ 上の積分を必要とし、より高度な数値積分技術に適しているが、z 依存性が複雑になる。
• 数値的分析から、分布的ゲージは計算のショートカットを提供するが、絶対可積分ゲージは、より利用可能な統合アルゴリズムの存在を考慮すると、シミュレーションにおいてより実用的であることが判明した。