[論文レビュー] Zhu's algebra, the C_2 algebra, and twisted modules

Matthias R. Gaberdiel, Terry Gannon|ArXiv.org|Nov 24, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、有理型頂点演算子代数（VOA）における朱の代数と$C_2$-代数の構造的関係を調査し、特にアフィンリーダイクス代数および格子VOAに対して考察する。$C_2$-代数はねじれモジュール（特に格子の穴に関連するもの）を検出すると提案され、一方で朱の代数は通常のモジュールを捉える。主な結果として、$E_8$がレベル$k=1$のとき、$C_2$-代数が朱の代数を真に包含することを示し、$τ_{[2]}$が$τ$より大きい場合、有理VOAが「異常」である可能性を示唆する。$E_8$がレベル2のとき、このような異常性の候補となる。

ABSTRACT

In his landmark paper, Zhu associated two associative algebras to a vertex operator algebra: what are now called Zhu's algebra and the C_2-algebra. The former has a nice interpretation in terms of the representation theory of the VOA, while the latter only serves as a finiteness condition. In this paper we undertake first steps to unravel the interpretation of the C_2 vector space. In particular we suggest that it seems and controls the twisted representations of the VOA.

研究の動機と目的

• 有理VOAのモジュールを分類するにあたり、朱の代数と$C_2$-代数の構造的役割を明確化すること。
• 特に、三重代数のような反例を踏まえて、$C_2$-代数の有限次元性が有理性を特徴づけるかどうかを調査すること。
• 格子の穴から生じるねじれモジュールが、$C_2$-代数にどのように符号化されているかを特定すること。
• $\mathcal{A}_{[2]}^*$と$\mathcal{A}^*$の乖離がいつ消えるかを調査すること。
• $\mathfrak{g}=E_8$を除き、$\mathcal{A}_{[2]}(\mathcal{V}_{\mathfrak{g},k})$が$\mathfrak{g}$-加群として$\mathcal{A}(\mathcal{V}_{\mathfrak{g},k})$に同型であるという予想を検証すること。

提案手法

• 相関関数と自己相関ブロックをモジュール構造に関連付けるために、共形場理論および頂点演算子代数の形式的体系を用いる。
• 朱の構成法である$\mathcal{A}(\mathcal{V})$を、$\text{Res}_z (Y(a,z)b) z^{-2} dz$で生成される部分空間による$\mathcal{V}$の商として定義し、モジュール特徴関数と関連付ける。
• $C_2$-代数$\mathcal{A}_{[2]}(\mathcal{V}) = \mathcal{V}/C_2(\mathcal{V})$を用い、埋め込み$M_0 \otimes M_0^* \to \mathcal{A}_{[2]}^*$によりねじれモジュールを検出する。
• アフィンVOA$\mathcal{V}_{\mathfrak{g},k}$の$C_2$-代数を$N$-対称性と重み空間分解を用いて分析し、その各次数の構造を、既約表現のテンソル積の差としての推定を提示する。
• ピーター＝ウェイの双対性を用いて、$\mathcal{A}_{[2]}$における$L(\mu) \otimes L(\mu)^*$成分を解釈する。
• $E_8$がレベル$k=1$および$k=2$のとき、$\mathcal{A}_{[2]}$と$\mathcal{A}$を比較し、ねじれモジュールの$D_8$-分解を用いて、$\mathcal{A}_{[2]}$が$\mathcal{A}$を真に包含することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元性を持つ$\mathcal{A}_{[2]}(\mathcal{V})$は、$\mathcal{V}$の有理性を示唆するか？三重代数のような反例が存在するか？
• RQ2 VOAのねじれモジュール（特に格子の穴から生じるモジュール）は、$C_2$-代数によって検出可能か？この文脈において、通常のモジュールとはどのように異なるか？
• RQ3 $\mathcal{A}_{[2]}(\mathcal{V}_{E_8,1})$が$\mathcal{A}(\mathcal{V}_{E_8,1})$を真に包含する理由は何か？これは$E_8$がレベル1のときのモジュール構造にどのような意味を持つのか？
• RQ4 $\mathcal{V}_{\mathfrak{g},k}$の$C_2$-代数は、$\mathfrak{g}$-加群として朱の代数と同型か？そうでない場合、その相違点はどこにあるのか？
• RQ5 $E_8$がレベル2で唯一の例外的単純電流を有するアフィン代数であることの役割は何か？これは異常な$C_2$-代数を引き起こすのか？

主な発見

• $\mathcal{V}_{sl(N),k}$の$C_2$-代数の次数$m$における構造は、$\oplus_{\mu \in P_m^k} L(\mu) \otimes L(\mu)^* - \oplus_{\nu \in P_m^{k'}} L(\nu) \otimes L(\nu)^*$と予想される。ここで$P_m^k$および$P_m^{k'}$は$N$-対称性とドゥインクンラベルの制約によって定義される。
• この予想は$m \leq k$のとき成り立ち、$sl(2)$では$\mathcal{A}_{[2]}$と$\mathcal{A}$が$sl(N)$-加群として同型であることを示唆し、$A$-系列には異常性がないことを示唆する。
• レベル$k=1$では、$\mathcal{V}_{E_8,1}$は自己双対な格子VOA$\mathcal{V}_{E_8}$に同型であり、自己双対性のため異常であり、$\mathcal{A}_{[2]}$は$\mathcal{A}$を真に包含する。
• $E_8$-モジュール$L(k\Lambda_1)^{e8}$は$\mathcal{A}_{[2]}$に含まれるが$\mathcal{A}$には含まれない。これは$D_8$-ねじれモジュールに由来しており、朱の代数では捉えられていないためである。
• 偶数の$k>2$では、$E_8$-モジュール$L((k-3)\Lambda_1 + 2\Lambda_2)$は$\mathcal{A}$に含まれないが$\mathcal{A}_{[2]}$に含まれるが、そのねじれモジュール由来は未解明のままである。
• $E_8$がレベル2のときの$C_2$-代数は、$\mathcal{A}$に含まれない$E_8$-モジュールを含むため、異常であると予想される。また、$E_8$がレベル2のとき、アフィン代数の中で唯一の例外的単純電流を有する。