[論文レビュー] Zigzag and armchair nanotubes in external fields

Evgeny Korotyaev, Anton A. Kutsenko|ArXiv.org|Jun 22, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一様な軸方向磁場および周期的電場の下で、タイトバインディングモデルを用いてジグザグ型およびアームチェア型カーボンナノチューブ上のシュレーディンガー作用素を分析する。ユニタリ同値性を用いて、ジグザグ型ではスカラー型、アームチェア型では行列値型のジャコビ作用素の直和に帰着され、スペクトルの完全な特徴付けが可能となる：バンド、フラットバンド（無限大の重複度を持つ固有値）、および小および大のポテンシャルにおける漸近的挙動。主な結果として、特定の磁場強度においてスペクトルバンドがフラットバンドに収縮する条件が同定され、明示的な漸近式が導出されている。

ABSTRACT

We consider the Schrödinger operator on the zigzag and armchair nanotubes (tight-binding models) in a uniform magnetic field $\mB$ and in an external periodic electric potential. The magnetic and electric fields are parallel to the axis of the nanotube. We show that this operator is unitarily equivalent to the finite orthogonal sum of Jacobi operators. We describe all spectral bands and all eigenvalues (with infinite multiplicity, i.e., flat bands). Moreover, we determine the asymptotics of the spectral bands both for small and large potentials. We describe the spectrum as a function of $|\mB|$. For example, if $|\mB| o {163}({\pi2}-{πkN}+πs) an {\pi2N}, k=1,2,..,N, s\in \Z$, then some spectral band for zigzag nanotube shrinks into a flat band and the corresponding asymptotics are determined.

研究の動機と目的

• 軸方向磁場および周期的電場の下で、ジグザグ型およびアームチェア型ナノチューブ上のシュレーディンガー作用素のスペクトル的性質を分析すること。
• ハミルトニアンと有限個のジャコビ作用素の和とのユニタリ同値性を確立し、ジグザグ型ではスカラー型、アームチェア型では行列値型の構造を区別すること。
• 磁場強度 |B| の関数として、スペクトルバンドおよびフラットバンド（無限大の重複度を持つ固有値）を含む、完全なスペクトルの特徴付けを行うこと。
• 小および大の電気的ポテンシャルにおけるスペクトルバンドの漸近的表現を導出すること。
• スペクトルバンドがフラットバンドに収縮する臨界的な磁場強度を同定すること、特にジグザグ型ナノチューブにおいて。

提案手法

• ナノチューブを R^3 に埋め込んだ 1 次元グラフとみなし、周期的境界条件を適用し、磁場によるペイエルス位相を含む最近接項の hopping を持つタイトバインディングハミルトニアンを用いる。
• ハミルトニアン H^b = H_0^b + V を定義し、H_0^b には磁場によるフラックスが位相因子 e^{ib_j} として符号化され、V は周期的電場ポテンシャルである。
• Bloch-Floquet理論を用いて、準運動量をパrameterとする有限次元行列問題の族に問題を還元する。
• 周期的ジャコビ作用素の解析にモノドロミー行列技術を適用し、固有値およびスペクトルバンドの特定に寄与するトレースおよび行列式を計算する。
• 摂動論および周期的ジャコビ行列の性質を用いて、小および大の電気的ポテンシャルにおけるスペクトルバンドの漸近的挙動を導出する。
• モノドロミー行列 Δ(z) = 1/2 Tr M_2(z) のトレースおよび行列式を用いて、バンド端および固有値位置を Δ(z) = cos r を用いて特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 軸方向磁場および電場の下で、ジグザグ型とアームチェア型ナノチューブにおけるシュレーディンガー作用素のスペクトル構造はどのように異なるか？
• RQ2 各ナノチューブタイプにおけるハミルトニアンのユニタリ同値類は何か？ そして、これはスペクトル解析にどのように影響を与えるか？
• RQ3 ジグザグ型ナノチューブにおいて、スペクトルバンドがフラットバンド（無限大の重複度を持つ固有値）に収縮する条件は何か？
• RQ4 ジグザグ型およびアームチェア型ナノチューブにおいて、小および大の電気的ポテンシャルにおけるスペクトルバンドの漸近的挙動は何か？
• RQ5 磁場強度 |B| に依存するスペクトル、特にバンドが収縮する臨界値においてはどのように変化するか？

主な発見

• ジグザグ型ナノチューブ上のシュレーディンガー作用素は、スカラー型ジャコビ行列の直和とユニタリ同値であるのに対し、アームチェア型ナノチューブ上では 2×2 行列値ジャコビ行列の和とユニタリ同値である。
• ジグザグ型ナノチューブでは、絶対連続スペクトル部とフラットバンド（無限大の重複度を持つ固有値）を含むが、アームチェア型ナノチューブでは任意の磁場強度においてスペクトルは純粋に絶対連続的である。
• 特定の磁場強度 |B| = 16/3 (π/2 - πk/N + πs) tan(π/2N), k=1,2,...,N, s∈Z において、ジグザグ型ナノチューブのスペクトルバンドがフラットバンドに収縮する。
• 小および大の電気的ポテンシャルにおけるスペクトルバンドの漸近的挙動が明示的に導出され、ジグザグ型とアームチェア型ナノチューブで異なるクラスタ構造と漸近的挙動を示している。
• ゼロ磁場および最小周期 2 の電場ポテンシャルの下で、ジグザグ型とアームチェア型ナノチューブのスペクトルは一致するが、バンドの重複度は異なる。
• モノドロミー行列 M_2(z) の固有値は Δ(z) = cos r を解くことで得られ、z_s = ±|a + e^{ir}| と表され、対応する固有ベクトルは明示的に構成されている。