[論文レビュー] Zimmer's conjecture: Subexponential growth, measure rigidity, and strong property (T)

Aaron Brown, David E. Fisher+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、高ランクの単純な非コンパクトなリー群の共(compact)格子に対して、Zimmerの予想の主要なケースを証明している。次元が $ n-1 $ より小さい多様体（体積を保存する場合には $ n $ 未満）への作用は、すべての像が有限である必要がある。証明では、測度の剛性と双曲的力学を用いて、微分の成長が一様に指数的でないことを確立し、その後 Lafforgue の強い性質 (T) を適用して不変なリーマン計量の存在を示した。これにより、$ \mathrm{SL}(n,\mathbb{R}) $ や関連する群の共(compact)格子に対して、予想が確認された。

ABSTRACT

We prove several cases of Zimmer's conjecture for actions of higher-rank cocompact lattices on low dimensional manifolds. For example, if $Γ$ is a cocompact lattice in $\mathrm{Sl}(n, \mathbb R)$, $M$ is a compact manifold, and $ω$ a volume form on $M$ we show that any homomorphism $ρ\colon Γ ightarrow \mathrm{Diff}(M)$ has finite image if the dimension of $M$ is less than $n-1$ and that any homomorphism $ρ\colon Γ ightarrow \mathrm{Diff}(M,ω)$ has finite image if the dimension of $M$ is less than $n$. The key step in the proof is to show any such action has uniform subexponential growth of derivatives. This is established using ideas from the smooth ergodic theory of higher-rank abelian groups, structure theory of semisimple groups and results from homogeneous dynamics. Having established uniform subexponential growth of derivatives, we apply Lafforgue's strong property (T) to establish the existence of an invariant Riemannian metric.

研究の動機と目的

• 高ランクの単純な非コンパクトなリー群の共(compact)格子に対して、Zimmer の予想を確認すること。特に $ \mathrm{SL}(n,\mathbb{R}) $ について、低次元多様体への作用を対象とする。
• 群のランクに対して相対的な臨界閾値未満の次元を持つ多様体への作用が、像が有限である必要があることを確立すること。
• 非線形作用における微分の成長の均一な指数的でない性質を、エルゴディック理論と幾何的群論を結びつけることで証明すること。
• 非一様格子や低次元ケースにとどまらない Zimmer プログラムのスコープを拡張し、予想された次元の境界に到達すること。

提案手法

• 双曲的力学と測度の剛性を用いて、懸垂空間への誘導作用を分析することで、微分の成長が一様に指数的でないことを証明する。
• Ratner の定理と、高ランクアーベル群に対する最近の測度の剛性の結果を用いて、微分の成長を制御する。
• Lafforgue の強い性質 (T) を用いて、指数的でない微分成長から不変なリーマン計量の存在を導出する。
• 単純群の構造論と同調的力学を活用して、作用の正則性およびスペクトル的性質を分析する。
• 計量の列 $ g_n $ を構成し、極限での消滅を背理法で排除することで、成長に対する一様な下界が成立することを示す。
• ルート系のデータとパラボリック部分代数の共振コドメインを用いて、臨界次元を分類し、すべての型のリー群にわたって境界が正当化されることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の共(compact)格子 $ \Gamma < \mathrm{SL}(n,\mathbb{R}) $ が、次元が $ n-1 $ より小さいコンパクト多様体 $ M $ に作用する場合、その像は有限であるか？
• RQ2 高ランク格子の低次元多様体への滑らかな作用に対して、微分の成長が一様に指数的でないことを確立できるか？
• RQ3 強い性質 (T) が、指数的でない微分成長と組み合わせることで、不変なリーマン計量の存在を示唆するか？
• RQ4 同調的力学からの測度の剛性の結果は、格子の非線形作用へどの程度適用可能か？
• RQ5 Zimmer の予想における次元の境界は、分裂単純リー群の共(compact)格子に対して、鋭いか？

主な発見

• $ \Gamma < \mathrm{SL}(n,\mathbb{R}) $ が共(compact)であり、$ \dim M < n-1 $ であるとき、任意の $ C^2 $ 作用 $ \alpha: \Gamma \to \mathrm{Diff}^2(M) $ は、像が有限である。
• $ \dim M = n-1 $ の場合、任意の $ C^2 $ 体積を保存する作用 $ \alpha: \Gamma \to \mathrm{Diff}^2(M,\omega) $ は、像が有限である。
• 群の要素の微分は、一様に指数的でない速度で成長する：任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して $ \|D\alpha(\gamma)\| \leq e^{\varepsilon l(\gamma)} $。
• Lafforgue の強い性質 (T) を通じて、指数的でない微分成長から不変なリーマン計量の存在が確立された。
• 結果は、他の分裂単純リー群の共(compact)格子へも拡張可能であり、次元の境界は予想された閾値と一致する。
• 最大パラボリック部分代数の共振コドメインが、各ルート系の型における臨界次元を決定し、すべての古典的および例外型に対して境界が正当化された。