[論文レビュー] "Zoology" of non-invertible duality defects: the view from class $\mathcal{S}$

Andrea Antinucci, Christian Copetti+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2022

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、6次元の $\nabla=(2,0)$ 理論を genus-$g$ リーマン面に次元削減することで構成される、4次元 $\nabla=2$ の $\mathcal{S}$ 類の非可逆双対性デフォームを研究する。非可逆対称性のための新しい「ランク」概念を導入し、トポロジー的変形または5次元 TQFT 述語による記述を用いて、融合代数の効率的計算を可能にする。特に、$\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}_N)_T$ 対称性を持つデフォームに対して明示的な融合規則が導出される。

ABSTRACT

We study generalizations of the non-invertible duality defects present in $\mathcal{N} = 4$ SU(N) SYM by studying theories with larger duality groups. We focus on 4d $\mathcal{N} = 2$ theories of class $\mathcal{S}$ obtained by the dimensional reduction of the 6d $\mathcal{N} = (2, 0)$ theory of $A_{N-1}$ type on a Riemann surface $Σ_g$ without punctures. We discuss their non-invertible duality symmetries and provide two ways to compute their fusion algebra: either using discrete topological manipulations or a 5d TQFT description. We also introduce the concept of "rank" of a non-invertible duality symmetry and show how it can be used to (almost) completely fix the fusion algebra with little computational effort.

研究の動機と目的

• 非可逆双対性デフォームの分類を、$\mathbb{Z}_N$ を超えるより大きな双対性群を持つ4次元 $\nabla=2$ $\mathcal{S}$ 理論に拡張する。
• 非可逆デフォームの完全な融合代数計算におけるギャップ、特に $\nabla=4$ SYM および $\mathcal{S}$ 理論における未解決問題を解消する。
• 非可逆双対性対称性のための「ランク」概念を導入・形式化し、融合規則の迅速再構成を可能にするツールとする。
• 2つの補完的計算フレームワークを提供する：離散的トポロジー的変形と5次元対称性 TQFT 述語。
• 非可逆デフォームの構成を $\mathbb{Z}_N$ から $(\mathbb{Z}_N)^g$ 対称性へ拡張する。この拡張は $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}_N)_T$ 中心拡大を介して実現される。

提案手法

• 大規模微分同相 $M \in \mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}_N)$ と、双対性フレームを回復させるトポロジー的変形 $\Phi_{\mathcal{L}}^M$ を組み合わせることでデフォームを構成する。
• $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}_N)_T$ の中心拡大を用いて、非可逆デフォームの融合代数を記述する。
• $H_1(\Sigma_g,\mathbb{Z}_N)$ 内のラインオペレーターおよびラグランジュラス・ラティスに対して離散的トポロジー操作を適用し、デフォーム作用を計算する。
• ボリューム対称性 TQFT 述語を用いてデフォーム融合を計算し、ボリューム内対称性 TFT がデフォーム構造を符号化する。
• 非可逆対称性の「ランク」を、必要な生成子の最小数として定義し、これにより融合規則の迅速再構成が可能になる。
• $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}_N)_T$ がラグランジュラス・ラティスに作用する性質を活用し、グローバル形式および双対性デフォームを分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模双対性群を持つ $\mathcal{S}$ 理論において、非可逆双対性デフォームの融合代数をどのように効率的に計算できるか？
• RQ2 非可逆対称性のランクが、その融合代数の構造を制約する役割を果たすか？
• RQ3 離散的トポロジー的変形と5次元 TQFT 述語は、デフォーム融合規則の計算においてどのように関係するか？
• RQ4 「ランク」概念を用いることで、最小限の計算で融合代数をほとんど完全に特定できるか？
• RQ5 $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}_N)_T$ 対称性を持つ $\nabla=2$ $\mathcal{S}$ 理論における非可逆デフォームの明示的な融合規則の構造は何か？

主な発見

• 非可逆双対性デフォームの融合代数は、$H_1(\Sigma_g,\mathbb{Z}_N)$ 内のラグランジュラス・ラティスに作用する $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}_N)_T$ の作用によって完全に決定される。
• 非可逆対称性の「ランク」概念により、最小限の計算で融合代数を（ほぼ）完全に再構成可能である。
• genus $g=2$ の場合、ランク1およびランク2のデフォームが一貫して分類可能であり、$\mathcal{N}^{1,+}$、$\mathcal{N}^{1,-}$、および $\mathcal{N}^{2,-}$ 型のデフォームが融合結果に現れる。
• 5次元対称性 TQFT 述語は、トポロジー的変形とは補完的であり、ガージングによって双対性デフォームがボリューム内デフォームとして実現される。
• デフォームとその逆の融合は、凝縮デフォーム $\mathcal{C}^G$ を与え、非可逆性が確認される。
• 本稿では $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}_N)_T$ 対称性を持つ理論に対する双対性デフォームを構成し、$\mathbb{Z}_N$ から高ランクアーベル群への以前の結果の一般化が達成された。