[論文レビュー] ZX-Calculus: Cyclotomic Supplementarity and Incompleteness for Clifford+T quantum mechanics

Emmanuel Jeandel, Simon Perdrix+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、円を等分する角度を持つn個の部分図を統合するZXカルキュラスにおける補完則の一般化である円分補完則を導入する。奇素数nに対して、この規則が既存の公理から導出可能でないことを証明し、Clifford+T断片の不完全性を確立するとともに、無限個の円分補完則と見直されたスカラー則を含む、新たな完全な公理体系を提案する。

ABSTRACT

The ZX-Calculus is a powerful graphical language for quantum mechanics and quantum information processing. The completeness of the language -- i.e. the ability to derive any true equation -- is a crucial question. In the quest of a complete ZX-calculus, supplementarity has been recently proved to be necessary for quantum diagram reasoning (MFCS 2016). Roughly speaking, supplementarity consists in merging two subdiagrams when they are parameterized by antipodal angles. We introduce a generalised supplementarity -- called cyclotomic supplementarity -- which consists in merging n subdiagrams at once, when the n angles divide the circle into equal parts. We show that when n is an odd prime number, the cyclotomic supplementarity cannot be derived, leading to a countable family of new axioms for diagrammatic quantum reasoning.We exhibit another new simple axiom that cannot be derived from the existing rules of the ZX-Calculus, implying in particular the incompleteness of the language for the so-called Clifford+T quantum mechanics. We end up with a new axiomatisation of an extended ZX-Calculus, including an axiom schema for the cyclotomic supplementarity.

研究の動機と目的

• ZXカルキュラスにおける量子力学のClifford+T断片の長年の未解決問題、すなわち完全性についての問題を解決すること。
• 円周を等分する角度を持つn部品の図の統合を可能にする補完則の一般化を、円分補完則として導入すること。
• nが奇素数であるとき、この一般化された規則が既存のZXカルキュラス規則から導出できないことを示し、Clifford+T断片における既存のZXカルキュラス規則の不完全性を示すこと。
• 円分補完則と見直されたスカラー則を追加することで、ZXカルキュラスの新たな完全な公理体系を提案し、古くなった規則を置き換えること。

提案手法

• 角度が単位円をn等分するn個の部分図を統合する規則として、円分補完則を導入する。
• 行列による解釈と代数的数論を用いて、特定のスカラー等式（例：arccos(√(2/3))を含むもの）が既存の規則から導出できないことを示す。
• Schr"oder de WittおよびZamdzhievの証明技法の修正版を適用し、角度倍数の解釈を用いて無限個の図を構成する。
• Cohnの既約性基準を用いて、特定の角度（例：α₀ = ±π/2 ± arccos(√(2/3))）がπの有理数倍でないことを証明し、導出不可能性を示す。
• すべての規則を保持するが円分補完則を除く、家族J·K♯_{k,l}の解釈族を構築し、新規規則の独立性を示すために用いる。
• 逆元則とゼロ則を新しいスカラー則に置き換え、新規公理系下でそれらの同等性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 補完則は、円周上に等間隔に配置されたn個の部分図を統合する一般化が可能であり、かつ既存のZXカルキュラス規則から導出可能であろうか？
• RQ2 ZXカルキュラスにおけるClifford+T断片は完全であろうか？ もし不完全ならば、完全性を達成するためにどのような新しい公理が必要であろうか？
• RQ3 nがどの値のとき、円分補完則が既存のZXカルキュラス規則と独立であろうか？
• RQ4 新しいスカラー則は、逆元則とゼロ則を置き換えることができるが、完全性は保持されるであろうか？
• RQ5 円分補完則の追加により、一般ZXカルキュラスの完全性は回復されるであろうか？

主な発見

• 奇素数nに対して、円分補完則は既存のZXカルキュラス規則から導出できないため、Clifford+T断片における言語の不完全性が証明された。
• arccos(√(2/3))を含む特定のスカラー等式が、行列的に真であるが、図式的には導出できないことから、不完全性が実証された。
• α₀ = ±π/2 ± arccos(√(2/3))がπの有理数倍でないことは、多項式3X⁴ + 2X² + 3がℤ上既約であることを示すことで証明された。
• Clifford+T断片の完全性を達成するには、すべての奇素数nについての円分補完則という無限個の新規公理が必要である。
• 見直されたスカラー則と円分補完則を含む新しい公理体系により、一般ZXカルキュラスの完全性が回復された。
• 不完全性の証明は、角度倍数の解釈J·K♯_{k,l}と整数の無限集合Sを用いて適応され、D1は有限個のD2形式の分解を持つが、Sの下で無限個の異なる解釈を持つことが示された。