[논문 리뷰] 1-bend Upward Planar Drawings of SP-digraphs

Emilio Di Giacomo, Giuseppe Liotta외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 30.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 최대 정점 차수 Δ를 갖는 시리즈-패러럴 방향성 그래프(SP-다이그래프)의 1번 굴곡을 가진 상향 평면 도형을 정확히 Δ개의 서로 다른 기울기를 사용하여 선형 시간 알고리즘으로 구성하는 방법을 제시한다. 이 방법은 정점들을 교차 형태로 표현하고, 이를 기울기 최적화된 상향 도형으로 변환함으로써, 최악의 경우 최적의 각 해상도 π/Δ를 달성하며, SP-다이그래프에 대해 Δ개의 기울기가 필수적이고 충분함을 증명한다.

ABSTRACT

It is proved that every series-parallel digraph whose maximum vertex-degree is $Δ$ admits an upward planar drawing with at most one bend per edge such that each edge segment has one of $Δ$ distinct slopes. This is shown to be worst-case optimal in terms of the number of slopes. Furthermore, our construction gives rise to drawings with optimal angular resolution $\fracπΔ$. A variant of the proof technique is used to show that (non-directed) reduced series-parallel graphs and flat series-parallel graphs have a (non-upward) one-bend planar drawing with $\lceil\fracΔ{2} ceil$ distinct slopes if biconnected, and with $\lceil\fracΔ{2} ceil+1$ distinct slopes if connected.

연구 동기 및 목표

• SP-다이그래프의 1번 굴곡 상향 평면 도형을 위해 필요한 최소한의 서로 다른 기울기 수를 규명하는 것.
• SP-다이그래프 및 관련 무방향 그래프 클래스에 대해 1번 굴곡 상향 평면 기울기 수의 날카로운 경계를 설정하는 것.
• SP-다이그래프의 상향 평면 도형에 대해 최적의 각 해상도와 기울기 사용을 달성하는 선형 시간 알고리즘을 개발하는 것.
• 결과를 무방향으로 단순화된 또는 평탄한 SP-그래프로 확장하여, 이중 연결 그래프의 경우 ⌈Δ/2⌉개의 기울기가 충분함을 보이는 것.

제안 방법

• SP-다이그래프의 각 정점을 잘 분포된 접촉 표현에서 수평 및 수직 선분이 교차하는 형태의 교차로 표현한다.
• 모든 간선이 최대 한 번의 굴곡만 갖도록, 집합 𝒮Δ = {π/2 + iπ/Δ | i = 0, ..., Δ−1} 에서 기울기를 할당한다.
• 각 교차를 𝒮Δ의 기울기를 사용하는 두 개의 선분으로 대체하여 폴리라인 도형으로 변환함으로써, 상향 방향성과 평면성을 유지한다.
• 각 교차의 안전 영역 성질을 활용하여 굴곡이 서로 겹치지 않는 영역 내에서만 발생하도록 보장함으로써 간선 간 교차를 방지한다.
• 일반적인 SP-다이그래프에서의 이행 간선을 처리하기 위해 분할하고, 이후 분할된 정점을 제거하여 원래의 구조를 복원한다.
• 무방향 그래프에서 대칭성과 기울기 재사용을 활용하여, 이중 연결된 단순화 또는 평탄한 SP-그래프의 경우 필요한 기울기 수를 ⌈Δ/2⌉로 줄인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 정점 차수 Δ인 SP-다이그래프의 1번 굴곡 상향 평면 기울기 수는 얼마인가?
• RQ2 SP-다이그래프의 1번 굴곡 상향 평면 도형에 대해 Δ개의 기울기가 최악의 경우 최적의 수인가?
• RQ3 무방향 SP-그래프의 1번 굴곡 평면 기울기 수는 기존 상한 3/2(Δ−1) 이하로 줄일 수 있는가?
• RQ4 이중 연결된 단순화 또는 평탄한 SP-그래프의 1번 굴곡 평면 도형을 위해 필요한 최소 기울기 수는 얼마인가?
• RQ5 기울기 경계를 SP-그래프를 초월한 일반적인 부분 2-트리로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 최대 정점 차수 Δ를 갖는 모든 SP-다이그래프는 정확히 Δ개의 서로 다른 기울기를 사용하는 1번 굴곡 상향 평면 도형을 갖는다. 이 경계는 최악의 경우 최적이다.
• 구축된 도형들은 최소 π/Δ의 각 해상도를 달성하며, 이 역시 최악의 경우 최적이다.
• 알고리즘은 O(n) 시간 내에 실행되어 대규모 SP-다이그래프에 대해 효율적이다.
• 이중 연결된 단순화 또는 평탄한 SP-그래프의 경우, 1번 굴곡 평면 기울기 수는 ⌈Δ/2⌉ 이하이며, 각 해상도는 최소 2π/Δ 이상이다.
• 연결된 단순화 또는 평탄한 SP-그래프의 경우, 1번 굴곡 평면 기울기 수는 ⌈Δ/2⌉ + 1 이하이며, 각 해상도는 최소 2π/(Δ+1) 이상이다.
• Δ개의 기울기가 어떤 1번 굴곡 상향 평면 도형에서도 필수적임을 보여주는 SP-다이그래프의 가족을 구성함으로써, 상한 경계의 날카로움을 증명한다.