[논문 리뷰] 2 Realization theory of discrete-time linearswitched systems

M. Petreczky|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 18.

Control Systems and Identification참고 문헌 54인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 이산시간 선형 스위치 시스템(DTLSS)에 대한 실현 이론을 수립하며, 입력-출력 맵이 DTLSS 실현을 갖는다 하는 것과 그 헨켈 행렬의 질량이 유한한 것 사이의 필요충분조건을 증명한다. 핵심 기여는 스펜-재달성과 관측 가능성에 기반한 최소성의 특성화이며, 최소 실현은 상태공간 변환에 대해 유일한 동형사상으로 유일하다. 이는 유리형 형식 거듭제곱급수를 핵심 수학적 도구로 사용한다.

ABSTRACT

The paper presents realization theory of discrete-time linear switched systems. A discrete-time linear switched system is a hybrid system, such that the continuous sub-system associated with each discrete state is linear. In this paper we present necessary and sufficient conditions for an input-output map to admit a discrete-time linear switched state-space realization. The conditions are formulated as finite rank conditions of a generalized Hankel-matrix. In addition, we present a characterization of minimality of discrete-time linear switched systems in terms of reachability and observable.Further, we prove that minimal realizations are unique up to isomorphism. We also discuss procedures for converting a linear switched system to a minimal one and we present an algorithm for constructing a state-space representation from input-output data.The paper uses the theory rational formal power series in non-commutative variables. The latter theory was successfully applied to bilinear and state-affine systems in the past.

연구 동기 및 목표

• 연속시간 사례에 비해 이산시간 선형 스위치 시스템에 대한 실현 이론의 부재를 다루기 위해.
• 입력-출력 맵이 DTLSS 상태공간 실현을 갖는 데 필요한 필요충분조건을 제공하기 위해.
• 스위치 시스템의 최소성의 특성화를 재달성성과 관측 가능성의 관점에서 기술하고, 최소 실현이 동형사상에 대해 유일함을 증명하기 위해.
• DTLSS를 최소화하는 알고리즘과 입력-출력 데이터로부터 상태공간 모델을 구성하는 알고리즘을 개발하기 위해.
• DTLSS와 유리형 형식 거듭제곱급수 사이의 공식적 대응관계를 수립하여 고급 대수적 도구의 활용을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• DTLSS를 각 모드에서 선형 역학을 갖는 이산시간 시스템으로 정의하며, 스위칭은 외부 입력에 의해 결정됨.
• DTLSS에 대해 마르코프 매개변수와 헨켈 행렬을 도입하여 비가환 설정으로 일반화된 선형 시스템 이론을 확장함.
• 비가환 변수에서의 유리형 형식 거듭제곱급수 이론을 기초 수학적 프레임워크로 사용함.
• DTLSS 실현이 존재하는 것은 그 입력-출력 맵의 헨켈 행렬의 질량이 유한한 것과 필요충분조건임을 증명함.
• 임의의 DTLSS를 순차적 재달성성과 관측 가능성 감소를 통해 최소 실현으로 변환하는 최소화 알고리즘을 구축함.
• DTLSS와 그에 대응하는 유리형 형식 거듭제곱급수의 표현 간의 동형사상을 수립하여 구조적 동치성을 가능하게 함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 입력-출력 맵이 이산시간 선형 스위치 상태공간 실현을 갖는가?
• RQ2 재달성성과 관측 가능성과 같은 시스템이론적 성질에 기반해 DTLSS의 최소성은 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 주어진 입력-출력 맵에 대한 최소 실현은 동형사상에 대해 유일한가?
• RQ4 DTLSS의 실현 문제와 유리형 형식 거듭제곱급수 이론 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 입력-출력 데이터로부터 알고리즘적으로 최소 DTLSS를 어떻게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 입력-출력 맵이 DTLSS 실현을 갖는다 하는 것은 그에 대응하는 헨켈 행렬의 질량이 유한한 것과 필요충분조건이다.
• 최소 DTLSS는 스펜-재달성성과 관측 가능성의 두 성질을 모두 만족하며, 이러한 실현은 동형사상에 대해 유일하다.
• 최소 실현은 해당 유리형 형식 거듭제곱급수의 최소 표현과 동형이다.
• 임의의 DTLSS를 최소 실현으로 변환하면서도 입력-출력 행동을 유지하는 최소화 알고리즘이 존재한다.
• 입력-출력 맵의 헨켈 행렬로부터 직접 상태공간 표현을 구성하는 절차가 제공된다.
• DTLSS의 실현 문제는 유리형 형식 거듭제곱급수의 실현 문제와 동치이며, 깊은 대수적 대응관계를 수립한다.