[논문 리뷰] 3d TQFTs from Argyres-Douglas theories

Mykola Dedushenko, Sergei Gukov외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 12.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 37인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 4차원 ${\mathcal{N}}=2$ 일반화된 아르기레스-다우거스(AD) 이론을 $S^1 \times M_3$에 대해(compactification) 비자명한 $γ \in \mathbb{Z}_N$ 전역 대칭의 비자명한 호로니를 가진 채택을 통해 새로운 3차원 위상적 양자장이론(TQFT)의 클래스를 구성한다. 결과적으로 유도된 TQFT는 비유니터리이고 단순하며, 야생 히친 모듈리 공간과 양자 연산자 대수에서 유래된 모듈러 텐서 카테고리(MTC)와 관련되어 있으며, 서로 다른 MTC들을 연결하는 갈로아 작용이 존재한다. 이로 인해 기존의 이론들인 $(G_2)_1$ 및 $(F_4)_1$ 초전도체 이론을 복원할 수 있다.

ABSTRACT

We construct a new class of three-dimensional topological quantum field theories (3d TQFTs) by considering generalized Argyres-Douglas theories on $S^1 imes M_3$ with a non-trivial holonomy of a discrete global symmetry along the $S^1$. For the minimal choice of the holonomy, the resulting 3d TQFTs are non-unitary and semisimple, thus distinguishing themselves from theories of Chern-Simons and Rozansky-Witten types respectively. Changing the holonomy performs a Galois transformation on the TQFT, which can sometimes give rise to more familiar unitary theories such as the $(G_2)_1$ and $(F_4)_1$ Chern-Simons theories. Our construction is based on an intriguing relation between topologically twisted partition functions, wild Hitchin characters, and chiral algebras which, when combined together, relate Coulomb branch and Higgs branch data of the same 4d $\mathcal{N}=2$ theory. We test our proposal by applying localization techniques to the conjectural $\mathcal{N}=1$ UV Lagrangian descriptions of the $(A_1,A_2)$, $(A_1,A_3)$ and $(A_1,D_3)$ theories.

연구 동기 및 목표

• 4차원 ${\mathcal{N}}=2$ 아르기레스-다우거스(AD) 이론을 $S^1 \times M_3$에 대해 수축하고 비자명한 호로니를 가진 경우, 새로운 3D TQFT를 구성하는 것.
• 위상적 토글링과 호로니를 통해 AD 이론의 쿨롱 브랜치 및 히긴스 브랜치 연산자 스펙트럼 간의 비자명한 관계를 밝혀내는 것.
• 유도된 3D TQFT가 모듈러 텐서 카테고리(MTC)와 관련된 단순 비유니터리 이론임을 규명하고, 이 MTC들이 야생 히친 모듈리 공간과 양자 연산자 대수에서 유래됨을 밝혀내는 것.
• 홀로니 매개변수 $\gamma \in \mathbb{Z}_N^\times$에 대한 갈로아 작용이 동치 또는 쌍대 MTC를 생성하며, 이로써 기존의 유니터리 TQFT들인 $(G_2)_1$ 및 $(F_4)_1$ 초전도체 이론을 복원할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 일반화된 AD 이론을 $S^1 \times M_3$에 대해 수축하고, $S^1$에 따라 비자명한 호로니 $\gamma \in \mathbb{Z}_N$를 부여하며, $M_3$에 대해 위상적 토글링을 수행한다. 이때 $\mathrm{Spin}(3)$을 $SU(2)_R \subset SU(2)_R \times U(1)_r$와 동일시한다.
• 이로 인해 분할 함수는 $M_3$의 위상적 불변량이 되며, AD 이론 $\mathcal{T}$와 호로니 $\gamma$로부터 유도된 모듈러 텐서 카테고리 $\mathcal{C}_{\mathcal{T}}^\gamma$와 관련된 3D TQFT를 나타낸다.
• 위상적 토글링된 분할 함수, 야생 히친 특성, 양자 연산자 대수 간의 관계를 이용하여 동일한 4차원 ${\mathcal{N}}=2$ 이론의 쿨롱 브랜치 및 히긴스 브랜치 데이터를 연결한다.
• $(A_1,A_2)$, $(A_1,A_3)$, $(A_1,D_3)$ 이론에 대한 추측적 ${\mathcal{N}}=1$ UV 라그랑지안 기술을 이용해 국소화 기법을 적용하여 분할 함수를 계산하고, 모듈러 불변성을 검증한다.
• TQFT 데이터로부터 모듈러 $S$ 및 $T$ 행렬을 계산하고, 이들을 사용하여 $S^1 \times M_3$ 위의 분할 함수를 MTC의 단순 객체들에 대한 합으로 표현한다. 이때 계수는 $S_{0\lambda}^{2 - \deg(v)} T_{\lambda\lambda}^{a_v} \prod_{\text{edge}} S_{\lambda\lambda'}$ 형태를 가진다.
• 갈로아 군 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(e^{2\pi i/N})/\mathbb{Q}) \simeq \mathbb{Z}_N^\times$를 적용하여 다양한 호로니 선택 간의 관계를 규명하고, 일부 비유니터리 MTC가 유니터리 TQFT들인 $(G_2)_1$ 및 $(F_4)_1$로 매핑될 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 4차원 ${\mathcal{N}}=2$ 아르기레스-다우거스 이론을 $S^1 \times M_3$에 대해 비자명한 호로니를 가진 채택하여 3D TQFT를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 위상적 토글링과 호로니를 통해 AD 이론의 쿨롱 브랜치와 히긴스 브랜치 연산자 스펙트럼 간의 정밀한 관계는 무엇인가?
• RQ3 유도된 3D TQFT는 모듈러 텐서 카테고리(MTC)와 어떻게 관련되어 있으며, 야생 히친 특성과 양자 연산자 대수는 이 구성에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 홀로니 매개변수 $\gamma$에 대한 갈로아 변환은 비유니터리 MTC에서 알려진 유니터리 TQFT들인 $(G_2)_1$ 및 $(F_4)_1$ 초전도체 이론을 유도할 수 있는가?
• RQ5 ${\mathcal{N}}=1$ 라그랑지안 기술에 기반한 $(A_1,A_2)$, $(A_1,A_3)$, $(A_1,D_3)$ 이론의 국소화 계산을 통해 제안된 TQFT 구조와 모듈러 불변성이 얼마나 정확히 확인되는가?

주요 결과

• 분할 함수는 $S^1 \times M_3$ 위에서 $Z_{\text{AD}}(S^1 \times M_3) = \sum_{\lambda_v} \prod_{\text{vertices}} S_{0\lambda_v}^{2 - \deg(v)} T_{\lambda_v\lambda_v}^{a_v} \prod_{\text{edges}} S_{\lambda_v\lambda_v'}$로 계산되며, $S$ 및 $T$ 행렬은 MTC에서 유도된다.
• $(A_1,D_3)$ 이론의 경우 MTC는 세 개의 단순 객체를 가지며, 양자 차원은 $\mathcal{H}_1 = \mathcal{H}_2 = \mathcal{H}_3 = 3$이다. 이에 대응하는 모듈러 $S$ 및 $T$ 행렬은 $\mathfrak{su}(2)_{-4/3}$ 이론의 수준 $k = -4/3$에서의 것과 일치하여, 양자 연산자 대수 추측을 확인한다.
• $(A_1,D_3)$ 이론의 $\gamma = 1$인 MTC는 비유니터리이며, $\gamma = 2$인 경우와 복소수 켤레 관계에 있지만, 갈로아 작용을 통해 연결되며 일관된 분할 함수를 유도한다.
• $S^1 \times L_g(p)$ 위의 분할 함수는 $Z = 3^{g-1}(e^{i\pi/2} + 2e^{-i\pi/6}) = \sum_{\lambda=0}^2 (S_{0\lambda})^{2-2g} (T_{\lambda\lambda})^p$로 표현되며, 이는 모듈러 형식 예측과 일치한다.
• $(A_1,D_3)$의 MTC는 갈로아 작용을 통해 유니터리 MTC와 연결되지 않지만, $\lambda=1$ 객체의 부호를 뒤집으면 $SU(3)_1$ 또는 $(E_6)_1$ 초전도체 이론을 통해 실현 가능한 $\mathbb{Z}_3$ MTC가 된다.
• 이 구성은 기존의 유니터리 TQFT를 복원한다: $(A_1,A_2)$ 이론에서 $\gamma = 1$일 경우 MTC는 $(G_2)_1$ 초전도체 이론과 일치하며, $(A_1,A_3)$ 이론에서 $\gamma = 1$일 경우 MTC는 $(F_4)_1$ 초전도체 이론과 일치한다. 이는 갈로아 켤레와 가역 TQFT와의 텐서 곱을 통해 유도된다.