[논문 리뷰] 6d $\mathcal{N}{=}(1,0)$ theories on $S^1/T^2$ and class S theories: part II

Kantaro Ohmori, Hiroyuki Shimizu외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 04.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 48인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 6차원 $\mathcal{N}=(1,0)$ 이론들을 $T^2$에 컴actification하여, $\mathcal{N}=(2,0)$ 이론으로 Higgs할 수 있는 이론들에 초점을 맞춘다. 5차원 이론으로의 $S^1$ 컴actification을 통해 유도된 4차원 $\mathcal{N}=2$ 이론을 분석함으로써, 비가역적 자유도와 원형 게이지 메시지가 결합된 두 개의 초등방향 물질 섹터로 이루어진 일반적인 구조를 규명한다. 이는 명시적인 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 대칭성과 완전한 플라버 대칭성을 포함한다. 주요 결과는 F-이론적 이상치 제약 조건을 장 이론적 방법으로 유도한 것으로, 이는 $\mathfrak{su}(2)+4\text{ flavors}$와 같은 특정 6차원 물질 구성 요소, 특히 $\mathfrak{so}(8)$ 대칭성을 가진 경우를 배제한다.

ABSTRACT

We study the $T^2$ compactification of a class of 6d $\mathcal{N}{=}(1,0)$ theories that is Higgsable to $\mathcal{N}{=}(2,0)$ theories. We show that the resulting 4d $\mathcal{N}{=}2$ theory at the origin of the Coulomb branch and the parameter space is generically given by two superconformal matter sectors coupled by an infrared-free gauge multiplet and another conformal gauge multiplet. Our analysis utilizes the 5d theories obtained by putting the same class of 6d theories on $S^1$. Our class includes, among others, the 6d theories describing multiple M5 branes on an ALE singularity, and we analyze them in detail. The resulting 4d theory has manifestly both the $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ and the full flavor symmetry. We also discuss in detail the special cases of 6d theories where the infrared-free gauge multiplet is absent. In an appendix, we give a field-theoretical argument for an F-theoretic constraint that forbids a particular 6d anomaly-free matter content, as an application of our analysis.

연구 동기 및 목표

• 6차원 $\mathcal{N}=(1,0)$ 이론의 $T^2$ 컴actification이 $\mathcal{N}=(2,0)$ 이론으로 Higgs 가능한 경우를 이해하는 것.
• 쿠론 브랜치와 매개변수 브랜치의 원점에서 유도된 4차원 $\mathcal{N}=2$ 이론의 구조를 규명하는 것.
• 특정 6차원 물질 구성 요소를 금지하는 F-이론적 이상치 제약 조건을 장 이론적 방법으로 유도하는 것.
• 비가역적 자유도 게이지 메시지가 존재하지 않는 특수한 경우를 분석하고, 플라버 대칭성과 이중성 대칭성의 역할을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 6차원 $\mathcal{N}=(1,0)$ 이론들을 $S^1$에 컴actification하여 유도된 5차원 이론을 핵심 중간 단계로 활용한다.
• 쿠론 브랜치와 매개변수 공간에 중점을 두어, 5차원 이론의 $T^2$ 컴actification을 통해 4차원 이론을 분석한다.
• 클래스 S 이론의 프레임워크를 적용하여, 유도된 4차원 $\mathcal{N}=2$ 이론을 초등방향 물질 섹터의 퀘버로 기술한다.
• $\mathcal{T}\langle M\rangle$, $\mathcal{T}\{H\}$, $\mathcal{T}/H$ 표기법을 사용하여 컴actification, 플라버 대칭성, 게이지화를 기술한다.
• 이상치 다항식 기법과 이중성 추론을 적용하여 허용 가능한 물질 구성 요소를 제약한다.
• 특정 6차원 모델, 예를 들어 $\mathrm{SU}(2)+4\text{ flavors}$와 같은 4차원 및 5차원 이론을 직접 분석하여 플라버 대칭성 강화의 모순를 탐지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 6차원 $\mathcal{N}=(1,0)$ 이론이 $\mathcal{N}=(2,0)$ 이론으로 Higgs 가능한 경우, $T^2$ 컴actification을 통해 유도된 4차원 $\mathcal{N}=2$ 이론의 구조는 무엇인가?
• RQ2 컴actified된 4차원 이론에서 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 이중성과 완전한 플라버 대칭성은 어떻게 나타나는가?
• RQ3 왜 일부 6차원 물질 구성 요소, 예를 들어 $\mathrm{SU}(2)+4\text{ flavors}$와 같은 $\mathfrak{so}(8)$ 대칭성을 가진 경우 F-이론에서 금지되는가? 이는 장 이론적 방법만으로도 설명할 수 있는가?
• RQ4 비가역적 자유도 게이지 메시지가 4차원 이론에서 수행하는 역할은 무엇이며, 그 존재가 없는 경우 이론의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 특정 6차원 이상치 자유 물질 표현이 F-이론 기하학에 의존하지 않고도 장 이론적 모순을 유도하여 배제되는가?

주요 결과

• $T^2$ 컴actification을 통해 6차원 $\mathcal{N}=(1,0)$ 이론이 $\mathcal{N}=(2,0)$ 이론으로 Higgs 가능한 경우, 두 개의 초등방향 물질 섹터가 비가역적 자유도 게이지 메시지와 원형 게이지 메시지로 연결된 4차원 $\mathcal{N}=2$ 이론이 유도된다.
• 유도된 4차원 이론은 명시적인 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 이중성과 완전한 플라버 대칭성을 가지며, 후자는 기초가 되는 6차원 이론의 전역 대칭성으로 실현된다.
• $n$개의 M5 브레인이 $\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_k$ 특이점 위에 있는 경우, 4차원 이론은 $\mathfrak{su}(k)$ 게이지 군과 이중 히퍼멀티플릿을 가진 퀘버로 기술된다.
• 장 이론적 추론을 통해 $\mathrm{SU}(2)+4\text{ flavors}$ 모델이 $\mathfrak{so}(8)$ 대칭성을 가지는 것은 모순됨을 보이며, 텐서 브랜치에서의 플라버 대칭성은 임의의 강화로 $\mathfrak{so}(8)$가 되지만, 진짜 대칭성은 스핀어 표현에서 작용하는 $\mathfrak{so}(7)$임을 밝힌다.
• 이 6차원 모델의 $S^1$ 컴actification으로 유도된 5차원 이론은 $\mathrm{SU}(2)$ 이론에 네 개의 플라버를 가지며, 강화된 $\mathrm{SU}(2)_1 \times \mathrm{SU}(2)_2$ 플라버 대칭성의 대각선 부분군이 게이지화되어 $\mathrm{SO}(10)$ 강화를 이룬다.
• 이 모순은 $\mathfrak{so}(8)$의 벡터 표현이 $\mathfrak{so}(7)$에 포함될 수 없으며, 일반적인 텐서 브랜치에서의 4차원 퀘버 기술이 동일한 세 개의 구멍이 없는 것을 전제로 하므로, $\mathrm{Weyl}(\mathrm{SU}(3))$ 대칭성과 부합하지 않는다.