[논문 리뷰] 6d $\mathcal{N}=(1,0)$ theories on $T^2$ and class S theories: part I

Kantaro Ohmori, Hiroyuki Shimizu외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 20.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 15인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 6차원 $ N=(1,0) $ 최소 conformal matter 이론의 compactification—$A_n$, $D_n$, 또는 $E_n$ ALE 특이점 위에 놓인 M5-brane로 실현되는 것—을 토러스 $T^2$에 대해 다루며, 이는 두 개의 full puncture와 하나의 simple puncture를 가진 sphere 위의 type $G$ class S 이론과 이중성을 수립한다. 핵심 결과는 해당 4차원 $ N=2 $ 초대칭 간섭 이론이 central charge, Coulomb branch 차원, Higgs branch 기하학, 그리고 Seiberg-Witten 곡선에서 정확히 일치하며, 이는 다양한 일致성 검증을 통해 이중성의 타당성을 확인한다.

ABSTRACT

We show that the $\mathcal{N}=(1,0)$ superconformal theory on a single M5 brane on the ALE space of type $G=A_n, D_n, E_n$, when compactified on $T^2$, becomes a class S theory of type $G$ on a sphere with two full punctures and a simple puncture. We study this relation from various viewpoints. Along the way, we develop a new method to study the 4d SCFT arising from the $T^2$ compactification of a class of 6d $\mathcal{N}=(1,0)$ theories we call very Higgsable.

연구 동기 및 목표

• 6차원 $ N=(1,0)$ 이론의 $T^2$ compactification과 6차원 $ N=(2,0)$ 이론의 compactification에서 유도된 class S 이론에 기반한 4차원 $ N=2$ 초대칭 간섭 이론의 두 구성 방법 간의 겹침을 탐색한다.
• 특정 유형의 6차원 $ N=(1,0)$ 이론을 규명하여, 그들의 $T^2$ compactification이 알려진 class S 이론을 유도함을 확인한다.
• 6차원 최소 conformal matter 이론의 $T^2$ compactification(유형 $G = A_n, D_n, E_n$)과 두 개의 full puncture와 하나의 simple puncture를 가진 sphere 위의 type $G$ class S 이론 간의 이중성을 수립한다.
• ‘매우 Higgs 가능한’ 6차원 $ N=(1,0)$ 초대칭 간섭 이론의 4차원 이상 수치를 계산하는 일반적인 방법을 개발하며, 이는 최소 conformal matter 이론에 적용 가능하다.
• Coulomb branch 차원, Higgs branch 기하학, Seiberg-Witten 곡선 일치, 이상 수치 일치 등 여러 독립적 검증을 통해 이중성의 타당성을 검증한다.

제안 방법

• Type IIB 초현실 이론의 이중성 체인을 사용하여, ALE 특이점 위에 놓인 M5-brane에 의한 6차원 $ N=(1,0)$ 이론을 codimension-2 defect가 있는 6차원 $ N=(2,0)$ 이론으로 매핑함으로써 class S 구성과 연결한다.
• 4차원 이론의 Coulomb branch 차원을 6차원 compactification 측과 class S 측에서 각각 계산하여 일치 여부를 확인한다.
• 4차원 이론의 Higgs branch를 $G^2$ flavor symmetry를 약하게 가우징했을 때 분석하여, 6차원 관점에서 예측한 것과 같이 유형 $G$의 ALE 공간으로 기하학적으로 실현됨을 보여준다.
• 특정 모듈리 공간 근처에서 4차원 일반화된 bifundamental과 6차원 최소 conformal matter의 Seiberg-Witten 곡선을 비교하여, 'base-fiber duality'를 통해 정확히 일치함을 확인한다.
• 6차원 초대칭 간섭 이론의 tensor branch를 완전히 Higgs할 수 있는 ‘매우 Higgs 가능한’ 이론의 4차원 이상 수치를 계산하는 새로운 방법을 도입하며, 이는 compactification의 F-theoretic 기하학을 분석함으로써 유도된다.
• 이 이상 수치 공식을 6차원 최소 conformal matter 이론에 적용하여, 해당 4차원 class S 이론의 알려진 central charge($a$, $c$) 및 flavor level($k_G$)과의 일치를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 6차원 $ N=(1,0)$ 최소 conformal matter 이론의 $T^2$ compactification은 두 개의 full puncture와 하나의 simple puncture를 가진 sphere 위의 4차원 $ N=2$ 초대칭 간섭 이론으로서의 type $G$ class S 이론을 생성하는가?
• RQ2 4차원 이론의 central charge($a$, $c$) 및 flavor level($k_G$)가 $T^2$ compactification으로부터 계산되어, 해당 class S 이론과 일치하는가?
• RQ3 4차원 이론의 Higgs branch가 $G^2$ flavor symmetry를 약하게 가우닝했을 때, 6차원 구성에서 예측한 것과 같이 유형 $G$의 ALE 공간으로 기하학적으로 실현되는가?
• RQ4 특정 모듈리 공간 근처에서 4차원 일반화된 bifundamental과 6차원 최소 conformal matter의 Seiberg-Witten 곡선이 일치하는가? 이는 base-fiber duality를 지지하는가?
• RQ5 ‘매우 Higgs 가능한’ 6차원 $ N=(1,0)$ 초대칭 간섭 이론의 광범위한 클래스에 대해 4차원 이상 수치를 계산하는 일반적인 방법을 개발할 수 있는가? 특히, 이러한 이론들에 대해 적용 가능한가?

주요 결과

• 6차원 $ N=(1,0)$ 최소 conformal matter 이론의 $T^2$ compactification(유형 $G = A_n, D_n, E_n$)은 두 개의 full puncture와 하나의 simple puncture를 가진 sphere 위의 4차원 $ N=2$ 초대칭 간섭 이론으로서의 type $G$ class S 이론과 정확히 일치한다.
• $T^2$ compactification으로부터 유도된 4차원 이론의 Coulomb branch 차원은 해당 class S 이론과 정확히 일치한다.
• $G^2$ flavor symmetry를 약하게 가우닝했을 때의 4차원 이론의 Higgs branch는 6차원 구성에서 예측한 것과 같이 유형 $G$의 ALE 공간으로 기하학적으로 실현되며, 이는 6차원 기원을 확인한다.
• 특정 모듈리 공간 근처에서 4차원 일반화된 bifundamental과 6차원 최소 conformal matter의 Seiberg-Witten 곡선은 정확히 일치하며, 이는 base-fiber duality를 지지한다.
• ‘매우 Higgs 가능한’ 6차원 초대칭 간섭 이론의 4차원 이상 수치를 계산하는 데 사용된 새로운 방법은 알려진 central charge를 정확히 재현한다: $G = ext{SU}(N)$인 경우, $a = \frac{11N^2 - 5}{12}$, $c = \frac{N^2 - 1}{2}$, $k_G = 2N$.
• 이상 수치 계산은 6차원 최소 conformal matter의 $T^2$ compactification과 해당 4차원 class S 이론 간의 일치를 확인하며, $G = E_6, E_7, E_8$의 경우에도 특정 puncture 데이터를 포함하여 성립한다.