[논문 리뷰] A central limit theorem for an omnibus embedding of multiple random graphs and implications for multiscale network inference

Keith Levin, Avanti Athreya외 4명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 25.

Functional Brain Connectivity Studies참고 문헌 31인용 수 35

한 줄 요약

이 논문은 동일한 정점 집합 위에 정의된 다수의 무작위 그래프를 함께 통합하여 공통의 저차원 공간에 통합 임bedding하는 오미니버스 임베딩을 제안하며, 동시에 추정과 가설 검정을 가능하게 한다. 임bed된 정점에 대한 중심극한정리(central limit theorem)를 확립하여, 쌍별 정렬 없이도 네트워크 차이의 원인인 특정 정점 또는 부분그래프를 식별할 수 있는 다스케일 추론을 가능하게 한다. 이는 뇌회로도(connectome) 데이터 분석에서 성공적으로 적용되었다.

ABSTRACT

Performing statistical analyses on collections of graphs is of import to many disciplines, but principled, scalable methods for multi-sample graph inference are few. Here we describe an "omnibus" embedding in which multiple graphs on the same vertex set are jointly embedded into a single space with a distinct representation for each graph. We prove a central limit theorem for this embedding and demonstrate how it streamlines graph comparison, obviating the need for pairwise subspace alignments. The omnibus embedding achieves near-optimal inference accuracy when graphs arise from a common distribution and yet retains discriminatory power as a test procedure for the comparison of different graphs. Moreover, this joint embedding and the accompanying central limit theorem are important for answering multiscale graph inference questions, such as the identification of specific subgraphs or vertices responsible for similarity or difference across networks. We illustrate this with a pair of analyses of connectome data derived from dMRI and fMRI scans of human subjects. In particular, we show that this embedding allows the identification of specific brain regions associated with population-level differences. Finally, we sketch how the omnibus embedding can be used to address pressing open problems, both theoretical and practical, in multisample graph inference.

연구 동기 및 목표

• 동일한 정점 집합 위의 다수의 그래프를 비교할 때, 원칙적이고 확장 가능한 다표본 그래프 추론 방법의 부족을 해결한다.
• 그래프가 유사할 경우 추정 정확도를 유지하고, 다를 경우 분류 능력을 유지하는 통합된 임베딩 프레임워크를 개발한다.
• 전체 그래프, 부분그래프, 정점 수준의 다단계 추론을 가능하게 하여 네트워크 간 유사성 또는 차이의 원인을 규명한다.
• 전통적인 다변량 방법과 호환되는 공통 유클리드 공간에 그래프를 임베딩하여 후속 통계 분석을 용이하게 한다.
• 가중치가 있는, 방향성이 있는, 또는 노이즈가 있는 그래프가 포함된 설정에서도 확장 가능하고 강건한 연합 추정 및 검정 솔루션을 제공한다.

제안 방법

• 다수의 그래프의 인cidencematrices를 블록으로 붙여 오미니버스 행렬을 구성하며, 각 그래프의 행렬을 반복하여 대칭 블록 행렬을 형성한다.
• 오미니버스 행렬에 스펙트럼 분해를 적용하여, 각 그래프와 정점이 공통된 공간 내에서 고유한 표현을 가지는 공동 저차원 임베딩을 확보한다.
• 동일한 그래프 분포의 귀무가설 하에서 임bed된 정점에 대한 중심극한정리를 증명하여 渐近 정규성을 확립한다.
• 임bed된 정점의 渐近 정규성을 활용하여 다변량 분산분석(MANOVA)을 적용하여 그래프 간 유의미한 정점의 차이를 식별한다.
• 오미니버스 행렬의 중심화(평균 인cidencematrices를 빼기)를 구현하여 차이 탐지 능력을 향상시키고, 차수 이질성 및 공통 부분그래프 영향을 완화한다.
• 오미니버스 임베딩을 쌍별 프로크루스테스 정렬된 임베딩과 비교하여, 가설 검정 및 추정 정확도에서 뛰어난 성능을 보임을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동일한 분포에서 생성된 다수의 무작위 그래프에 대해, 하나의 임베딩 절차가 귀무가설(그래프가 동일함) 하에서 최적의 추정과 대립가설(그래프가 다름) 하에서 높은 검정력(유의미한 차이)을 동시에 달성할 수 있는가?
• RQ2 통합 임베딩 프레임워크를 통해 그래프 유사성 또는 차이를 특정 부분그래프 또는 정점 수준으로 국소화할 수 있는가?
• RQ3 오미니버스 임베딩이 쌍별 프로크루스테스 정렬을 제거하면서도 통계적 검정력은 유지하거나 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 오미니버스 행렬의 중심화가 실제 데이터에서 그래프 간 차이 탐지 능력을 얼마나 향상시키는가?
• RQ5 실제 및 시뮬레이션 네트워크에서 오미니버스 임베딩이 최신 기법 대비 추론 정확도와 확장성 측면에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 동일한 분포에서 생성된 그래프일 경우, 오미니버스 임베딩은 공통 그래프 파라미터에 대해 거의 최적의 추정 정확도를 달성한다.
• 임bed된 정점에 대한 중심극한정리는 MANOVA를 적용하여 그래프 간 차이에 기여하는 특정 정점을 식별하는 데 유용하며, 후행 검정(post-hoc Tukey tests)의 그래프 이론적 대응체 역할을 한다.
• 시뮬레이션 결과 오미니버스 임베딩은 프로크루스테스 기반 검정보다 뛰어난 성능을 보이며, 특히 중간 크기의 그래프에서 정렬 유도 노이즈가 없기 때문이다.
• 오미니버스 행렬의 중심화는 차수 이질성과 공통 부분그래프의 영향을 감소시켜 유사도 행렬에서의 군집화를 향상시켜, 차이 탐지 능력을 향상시킨다.
• dMRI 및 fMRI 스캔에서 확득한 뇌회로도 데이터에서, 이 방법은 인구 수준의 네트워크 차이와 관련된 특정 뇌 영역을 성공적으로 규명하였다.
• 오미니버스 임베딩 프레임워크는 확장 가능하며, 가중치가 있는, 방향성이 있는, 또는 노이즈가 있는 그래프에 적용 가능하며, 유클리드 데이터 기반 전통적 추론을 지원한다.