[논문 리뷰] A Central Limit Theorem for Wasserstein type distances between two different laws

Philippe Berthet, Jean‐Claude Fort외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 26.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 ℝ 위의 두 개별 연속 분포 간의 경험적 워샤프스키 유사도 거리에 대해 중심극한정리(CLT)를 수립한다. 이는 가능성이 상관된 i.i.d. 표본의 순서통계량을 사용한다. 분포와 비용 함수에 대해 최소한의 정규성 조건 하에서 추정기의 점근적 정규성과 일致성을 증명하며, 측도 성질 𝒫를 만족하는 일반화된 워샤프스키 비용에 대해 명시적인 점근적 분산을 제공한다.

ABSTRACT

This article is dedicated to the estimation of Wasserstein distances and Wasserstein costs between two distinct continuous distributions $F$ and $G$ on $\mathbb R$. The estimator is based on the order statistics of (possibly dependent) samples of $F$ resp. $G$. We prove the consistency and the asymptotic normality of our estimators. \begin{it}Keywords:\end{it} Central Limit Theorems- Generelized Wasserstein distances- Empirical processes- Strong approximation- Dependent samples.

연구 동기 및 목표

• ℝ 위의 두 개별 연속 분포 간의 일반화된 워샤프스키 거리에 대해 일致적이고 점근적으로 정규적인 추정기를 개발하기 위해.
• 표준 p-워샤프스키 거리 이외의 워샤프스키 유사 비용, 즉 볼록 비용과 비선형 비용으로 중심극한정리를 확장하기 위해.
• 컴퓨터 실험과 시뮬레이션 기반 추론에서 흔한, F와 G로부터의 의존 표본을 다루기 위해.
• 누적분포함수와 비용 함수에 대해 최소한의 정규성 가정 하에서 추정기의 점근적 분산에 대한 명시적 표현을 제공하기 위해.
• 기본 분포에 대한 최소한의 가정 하에서 단변량 설정에서 경험적 워샤프스키 거리에 대한 이론적 보장을 수립하기 위해.

제안 방법

• 추정기는 F와 G로부터의 i.i.d. 표본의 순서통계량에서 유도된 경험적 누적분포함수에 기반한다.
• 워샤프스키 비용은 측도 성질 𝒫를 통해 정의되며, 분위수 함수를 포함하는 명시적 적분 표현의 존재를 보장한다.
• 밀도와 그 도함수의 정규변동 조건 하에서 양측 분위수 과정에 대한 강한 근사 기법을 사용하여 중심극한정리를 도출한다.
• 밀도와 그 도함수의 점근적 행동을 통해 점근적 분산을 명시적으로 계산하며, 특히 정규변동과 천천히 변화하는 함수의 사용을 포함한다.
• 강한 근사 기법과 조건 (FG), (C), (CFG) 하에서의 분위수 과정에 대한 균일 수렴 결과에 기반한 증명을 수행한다.
• 경험적 추정기의 점근적 행동를 제어하기 위해 밀도와 그 도함수의 정규변동에 관한 보조 정리들을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도와 비용 함수에 대해 최소한의 정규성 조건 하에서 두 개별 연속 분포 간의 경험적 워샤프스키 거리가 정규 분포로 수렴하는가?
• RQ2 측도 성질 𝒫를 만족하는 일반화된 워샤프스키 비용에 대해 경험적 워샤프스키 추정기의 점근적 분산을 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 F와 G로부터의 표본 간의 의존 구조가 워샤프스키 추정기의 점근적 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 F와 G의 밀도에 어떤 조건이 성립하면 경험적 워샤프스키 추정기의 일치성과 점근적 정규성이 보장되는가?
• RQ5 표준 p-워샤프스키 거리를 초월하여 비선형적이고 볼록 비용 함수로 중심극한정리를 어느 정도까지 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 조건 (FG), (C), (CFG) 하에서 경험적 워샤프스키 거리 추정기는 일致성을 보이며, 진짜 워샤프스키 비용으로 확률 수렴한다.
• 추정기는 진짜로 명시적인 점근적 분산을 가지는 중심극한정리를 만족하며, 이는 F와 G의 밀도와 비용 함수의 공동 행동에 따라 달라진다.
• 점근적 분산은 분위수 과정의 점근적 행동과 밀도 및 그 도함수의 정규변동을 통해 유도된다.
• c(x,y) = |x−y|^p 형태의 비용 함수에 대해 p ≥ 1일 경우, 점근적 분산은 F와 G의 밀도에 대해 명시적으로 기술된다.
• 표본이 F와 G로부터 의존적일 경우에도 결과가 성립하며, 이는 컴퓨터 실험에서의 시뮬레이션 기반 추론에 있어 핵심적이다.
• 조건 (C2) 하에서 함수 ρ(x) = exp(l(x))는 볼록이며(만일 l₁ > 1이면 엄격히 볼록하다), 이는 추정기의 점근적 정규성에 기여한다.