[논문 리뷰] A Class of Linear Codes With Three Weights

Qiuyan Wang, Fei Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 12.

Coding theory and cryptography참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 홀수 소수 p에 대해 유한체 𝔽_p 위에서 선형 코드의 새로운 클래스를 구성하며, 추적 함수와 이차 성분 합을 사용하여 정확히 세 개의 비영인 무게를 가진 코드를 정의한다. 저자들은 이러한 코드의 완전한 무게 분포를 유도하여, 최적 또는 near-최적임을 증명하고, 무게 비율 성질이 유리하여 기밀 공유 스키마와 인증 코드에 적용 가능함을 보여준다.

ABSTRACT

Linear codes have been an interesting subject of study for many years. Recently, linear codes with few weights have been constructed and extensively studied. In this paper, for an odd prime p, a class of three-weight linear codes over Fp are constructed. The weight distributions of the linear codes are settled. These codes have applications in authentication codes, association schemes and data storage systems.

연구 동기 및 목표

• 홀수 소수 p에 대해 정확히 세 개의 비영인 무게를 갖는 𝔽_p 위의 새로운 선형 코드 가족을 구성하기.
• 지수 합과 성분 합을 사용하여 이러한 코드의 완전한 무게 분포를 결정하기.
• 코드가 근사 최적 최소 거리를 달성할 수 있는 조건을 설정하기.
• 이러한 코드가 기밀 공유 스키마와 인증 코드에 어떻게 응용될 수 있는지 탐색하기.
• 최소 무게와 최대 비영인 무게의 비율이 (p−1)/p를 초과함을 증명하여, 흥미로운 액세스 구조를 갖는 기밀 공유 스키마를 구성할 수 있음을 보장하기.

제안 방법

• q = p^m이고 m > 2일 때, a ∈ 𝔽_p^*에 대해 정의 집합 D_a = {x ∈ 𝔽_q^* : Tr(x) = a}를 사용하여 코드를 구성한다.
• 코드워드는 추적 사상에 의해 생성된다: c_x = (Tr(x d_i^2)) for d_i ∈ D_a and x ∈ 𝔽_q.
• 특히 표준 덧셈 성분 χ_1과 이차 성분 η를 사용하여, 유한체 위의加법 및 곱셈 성분을 통해 무게 분포를 계산한다.
• 가우스 합 G(η, χ_1)와 추적 함수를 포함하는 핵심 항등식을 사용하여 각 무게의 코드워드 수를 평가한다.
• m의 기수성에 따라 경우를 나누어 분석한다: m가 홀수일 때(정리 11)와 m가 짝수일 때(정리 12), 각각 다른 무게 분포를 유도한다.
• 성분의 수직성 관계와 집합 S, T 및 그 여집합 위에서의 세어내기 논리적 접근을 사용하여 각 무게에 대한 정확한 다중도를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 a ∈ 𝔽_p^*에 대해 정의 집합 D_a = {x ∈ 𝔽_q^* : Tr(x) = a}로부터 유도된 선형 코드의 완전한 무게 분포는 무엇인가?
• RQ2 q = p^m이고 p가 홀수 소수일 때, m의 기수성에 따라 이러한 코드의 매개변수와 무게 분포는 어떻게 달라지는가?
• RQ3 이러한 코드는 주어진 길이와 차원에서 근사 최적 최소 거리를 달성할 수 있는가?
• RQ4 이 코드들은 w_min / w_max > (p−1)/p 조건을 만족하는가? 이는 흥미로운 액세스 구조를 갖는 기밀 공유 스키마 구축에 가능하게 한다.
• RQ5 추적 함수와 성분 합으로부터 유도된 3무게 코드의 구조적 및 암호학적 응용은 무엇인가?

주요 결과

• 홀수 m > 3일 때, 코드 𝒞_{D_a}는 매개변수 [p^{m-1}, m, (p−1)p^{m−2} − p^{(m−3)/2}]와 무게 생성다항식 1 + 40x^{19} + 24x^{20} + 60x^{21}을 가지며, (p,m,a) = (5,3,1)일 때 근사 최적성을 보여준다.
• 짝수 m > 2일 때, 코드 𝒞_{D_a}는 매개변수 [p^{m-1}, m, (p−1)p^{m−2} − p^{(m−2)/2}]와 무게 생성다항식 1 + 240x^{95} + 124x^{100} + 260x^{105}을 가지며, (p,m,a) = (5,4,1)일 때 성립한다.
• 무게 분포는 완전히 결정되어 있으며 정확히 세 개의 비영인 무게로 구성되며, m의 기수성에 따라 다중도 공식이 명시적으로 정의된다.
• m ≥ 6일 때, w_min / w_max 비율이 (p−1)/p를 초과하여, 비트리비얼 액세스 구조를 갖는 기밀 공유 스키마를 구성하는 데 핵심 조건을 만족한다.
• 구조화된 무게 분포와 최적 매개변수 덕분에, 이러한 코드는 인증 코드와 연관 체계에 적용 가능함을 보여준다.
• 예시에서 최소 거리가 주어진 길이와 차원에 대해 이론적 최대값과 1 이내이므로, 이는 최적 또는 거의 최적임을 보여준다.