[논문 리뷰] Linear Codes with Two or Three Weights From Quadratic Bent Functions

Zhengchun Zhou, Nian Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 23.

Coding theory and cryptography참고 문헌 21인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 홀수 소수 $p$ 에 대한 유한체 $\mathbb{F}_p$ 상에서 이차 벤트 함수를 이용해 두 또는 세 무게를 가지는 $p$-진 선형 부호를 구성한다. 이중 형식의 무게 분포와 추적 표현을 활용하여, 이러한 부호의 정확한 무게 생성함수를 유도하며, 여러 구성 방식이 그레스머 또는 구 포장 경계에 도달함으로써 최적임을 보여준다.

ABSTRACT

Linear codes with few weights have applications in secrete sharing, authentication codes, association schemes, and strongly regular graphs. In this paper, several classes of $p$-ary linear codes with two or three weights are constructed from quadratic Bent functions over the finite field $\gf_p$, where $p$ is an odd prime. They include some earlier linear codes as special cases. The weight distributions of these linear codes are also determined.

연구 동기 및 목표

• 홀수 소수 $p$ 에 대해 $\mathbb{F}_p$ 상에서 이차 벤트 함수를 이용해 두 또는 세 비영 무게를 가지는 선형 부호를 구성하는 것.
• 이차 형식과 가우스 합의 성질을 이용해 이러한 부호의 완전한 무게 분포를 결정하는 것.
• 구성된 부호가 그레스머 경계 또는 구 포장 경계와 같은 알려진 경계에 도달함으로써 최적임을 보이는 것.
• 딩 등이 이전에 제안한 구성 방식을 추적 함수와 부분집합 선택 기반의 체계적 프레임워크를 이용해 일반화하고 확장하는 것.
• 암호학 및 부호 이론 분야의 응용을 고려해, 부호어의 추적 기반 표현을 단순화하거나 명시적으로 제공하는 것.

제안 방법

• 이차 벤트 함수 $Q(x)$ 를 $\mathbb{F}_{p^m}$ 에서 $\mathbb{F}_p$ 로의 기초로 사용하여 부호를 구성한다.
• 추적 함수 $\mathrm{Tr}_1^m$ 과 부분집합 $\overline{D}_Q \subset \mathbb{F}_{p^m}^\times$ 를 이용해 부호 $\mathcal{C}_{\overline{D}_Q}$ 를 정의한다.
• 좌표 변환에 대한 동치 관계 기반으로 $\mathbb{F}_p$ 상에서 이차 형식을 랭크와 함께 세 가지 표준 유형(유형 I, II, III)으로 분류한다.
• 가우스 합 기법과 캐릭터 합 항등식을 활용해 $Q(\bar{x}) = \zeta$ 를 만족하는 해의 개수를 계산하며, 이는 무게 분포를 결정한다.
• 부호어의 하밍 무게를 분석하기 위해 $\alpha \in \mathbb{F}_{p^m}$ 에 대해 추적 표현 $\mathrm{Tr}_1^m(\alpha x)$ 를 활용하여 무게 생성함수를 유도한다.
• 이차 형식의 랭크와 유형을 이용해 $m$ 이 짝수인지 홀수인지에 따라 나누어, 두 무게 부호와 세 무게 부호에 대한 서로 다른 무게 분포를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한체 $\mathbb{F}_p$ 상에서 이차 벤트 함수를 사용해 정확히 두 또는 세 비영 무게를 가지는 선형 부호를 구성할 수 있는가?
• RQ2 이차 벤트 함수로부터 구성된 선형 부호의 정확한 무게 분포는 무엇인가?
• RQ3 구성된 부호는 그레스머 경계 또는 구 포장 경계와 같은 알려진 경계에 도달함으로써 최적인가?
• RQ4 이차 형식의 구조(유형 I, II, III)는 무게 분포와 부호 매개변수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 암호학 및 부호 이론 분야의 실용적 응용을 고려할 때, 부호어의 추적 표현을 단순화하거나 명시적으로 만들 수 있는가?

주요 결과

• 홀수 $m$ 에 대해 부호 $\mathcal{C}_{\overline{D}_Q}$ 는 매개변수 $\left[\frac{p^{m-1}-1}{p-1}, m\right]$ 를 가지며, 표 3에 주어진 바와 같이 세 무게 부호이다.
• 짝수 $m$ 에 대해 부호 $\mathcal{C}_{\overline{D}_Q}$ 는 매개변수 $\left[\frac{p^{m-1}-1}{p-1} + \epsilon p^{\frac{m-2}{2}}, m\right]$ 를 가지며, 표 4에 주어진 바와 같이 두 무게 부호이다.
• 매개변수 $[40, 5, 24]$ 를 가진 부호는 무게 생성함수 $1 + 90z^{24} + 80z^{27} + 72z^{30}$ 을 가지며, $[40,5]$ 3진 부호가 최소 거리 25를 가질 수 없음을 고려할 때 최적임을 확인한다.
• 매개변수 $[10, 4, 6]$ 를 가진 부호는 무게 생성함수 $1 + 60z^6 + 20z^9$ 를 가지며, 그레스머 경계에 도달하므로 최적이다.
• 매개변수 $[26, 4, 20]$ 를 가진 부호는 무게 생성함수 $1 + 520z^{20} + 104z^{25}$ 를 가지며, 그레스머 경계를 충족하므로 최적이다.
• 문헌상 처음으로 $\mathcal{C}_{\overline{D}_Q}$ 의 무게 분포가 완전히 결정되었으며, 이는 프로젝티브 기하학 부호 분야의 열린 문제를 해결한다.