[논문 리뷰] A class of ${ m II_1}$ factors with an exotic abelian maximal amenable subalgebra

Cyril Houdayer|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 30.

Random Matrices and Applications참고 문헌 20인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 실 힐버트 공간 위에서의 임의의 혼합 직교 표현에 대해, 그에 의해 생성된 자유 보골료브 액션을 통한 교차곱 II₁ 초월 대수에서 군 von Neumann 대수 L(ℤ)가 최대 아메니타블임을 증명한다. 이는 II₁ 초월 대수의 최대 아메니타블 마사들에 대해 L²(M⊖A)로 표현되는, 거친 bimodule와 분리된, 비가산 많은 비표준적인 A-A-bimodule들을 제공한다.

ABSTRACT

We show that for every mixing orthogonal representation $π: \Z o \mathcal O(H_\R)$, the abelian subalgebra $\LL(\Z)$ is maximal amenable in the crossed product ${ m II}_1$ factor $Γ(H_\R)\dpr times_π\Z$ associated with the free Bogoljubov action of the representation $π$. This provides uncountably many non-isomorphic $A$-$A$-bimodules which are disjoint from the coarse $A$-$A$-bimodule and of the form $\LL^2(M \ominus A)$ where $A \subset M$ is a maximal amenable masa in a ${ m II_1}$ factor.

연구 동기 및 목표

• 기존의 생성자 또는 반경 마사와 같은 경우 외에 II₁ 초월 대수에서 새로운 최대 아메니타블 마사들을 구성하기 위해.
• 최대 아메니타블 마사 A⊂M에 대응하는 A-A-bimodule L²(M⊖A)의 구조를 조사하기 위해.
• 이러한 bimodule의 스펙트럼 측도 클래스로 나타날 수 있는 𝕋² 상의 측도 클래스는 무엇인가를 규명하기 위해.
• 비가산 많은 서로 이sovolumetric이 아닌 예외적인 예시를 구성함으로써, bimodule의 구조가 거친 bimodule와 분리될 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 분리 가능한 실 힐버트 공간 Hℝ에 대해 자유 가우시안 함수를 이용하여 II₁ 초월 대수 Γ(Hℝ)′′를 부여한다.
• 혼합 직교 표현 π:ℤ→O(Hℝ)에 의해 유도된 자유 보골료브 액션을 통해 교차곱 II₁ 초월 대수 M = Γ(Hℝ)′′ ⋊π ℤ를 구성한다.
• Popa의 점근적 수직성 조건을 이용하여 L(ℤ)가 M 내에서 최대 아메니타블임을 보일 충분 조건으로 적용한다.
• 단위 표현 π의 스펙트럼 성질을 분석함으로써 L(ℤ)가 점근적 수직성 조건을 만족함을 증명한다.
• 서로 다른 지지집합을 가진 비가산 많은 쌍으로 상호 독립적인 Rajchman 측도의 존재를 이용하여 서로 다른 bimodule 구조를 생성한다.
• 2ℕ에서 Prob(𝕋)로의 Borel 사상 x↦μₓ를 정의하여, 해당 측도 μₓ∞가 서로 상호 비슷하게 되도록 하며, 이는 이sovolumetric이 아닌 A-A-bimodule들을 이끈다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 II₁ 초월 대수에서 생성자, 반경 마사, 컵 마사 외에 최대 아메니타블 마사를 구성할 수 있는가?
• RQ2 최대 아메니타블 마사 A⊂M에 대응하는 A-A-bimodule L²(M⊖A)의 스펙트럼 측도 클래스로 나타날 수 있는 𝕋² 상의 측도 클래스는 무엇인가?
• RQ3 거친 A-A-bimodule와 분리된 비가산 많은 서로 이sovolumetric이 아닌 A-A-bimodule들이 존재하는가?
• RQ4 혼합 표현에 의한 자유 보골료브 액션으로 생성된 교차곱에서 L(ℤ)가 점근적 수직성 조건을 만족하는가?
• RQ5 Rajchman 측도와 독립 집합은 비표준 bimodule 구조를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 임의의 혼합 직교 표현 π:ℤ→O(Hℝ)에 대해, 아벨 부분대수 L(ℤ)는 교차곱 II₁ 초월 대수 Γ(Hℝ)′′⋊πℤ 내에서 최대 아메니타블이다.
• 이 구성은 A=L(ℤ)에 대해 비가산 많은 서로 이sovolumetric이 아닌 A-A-bimodule들을 제공하며, 모두 거친 A-A-bimodule와 분리되어 있다.
• bimodule L²(Mₓ⊖A)에 관련된 측도 클래스 [ηₓ]는 각 x∈2ℕ에 대해 𝕋² 상의 호르 기준 측도와 비슷하지 않다.
• 측도 (μₓ∞)ₓ∈2ℕ는 상호 비슷하므로, 이에 대응하는 bimodule들은 상호 이sovolumetric이 아니다.
• L²(M⊖A)의 bimodule 구조는 𝕋² 상의 측도 클래스 [ηₓ]에 의해 암호화되며, 이는 비슷하지 않으며 호르 기준 측도와 동치가 아니다.
• 증명은 단위 표현의 스펙트럼 이론과 서로 다른 지지집합을 가진 비가산 많은 독립적, 원소 없는 Rajchman 측도의 존재에 기반한다.