[논문 리뷰] A class of optimal control problems for mean-?field forward-backward stochastic systems with partial information

Guangchen Wang, Hua Xiao외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 12.

Stochastic processes and financial applications인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 부분 정보 하에서 평균장 전진-역행 확률적 시스템에 대한 새로운 최적 제어 프레임워크를 개발한다. 후행 분리 방법과 분해 기법을 사용하여 두 개의 결합된 전진-역행 최적 필터를 유도한다. 선형-제곱 제어 문제에 대해 명시적인 폐형 해를 수립하여 금융 수학 분야의 응용, 예를 들어 자산부채관리 및 체계적 리스크 모델링을 확장한다.

ABSTRACT

This article is concerned with an optimal control problem derived by mean-field forward-backward stochastic differential equation with noisy observation, where the drift coefficients of the state equation and the observation equation are linear with respect to the state and its expectation. The control problem is different from the existing literature on optimal control for mean-field stochastic systems, and has more applications in mathematical finance, e.g., asset-liability management problem with recursive utility, systematic risk model. Using a backward separation method with a decomposition technique, two optimality conditions along with two coupled forward-backward optimal filters are derived. Several linear-quadratic optimal control problems for mean-field forward-backward stochastic differential equations are studied. Closed-form optimal solutions are explicitly obtained in detailed situations.

연구 동기 및 목표

• 상태 방정식과 관측 방정식이 모두 상태와 그 기댓값에 대해 선형인 평균장 전진-역행 확률적 시스템에서의 최적 제어 문제를 다루는 것.
• 실제 금융 시스템에서 흔한 노이즈가 있는 부분 관측을 통합함으로써 기존 문헌을 확장하는 것.
• 평균장 상호작용과 부분 정보 구조를 고려한 최적성 조건과 필터를 도출하는 것.
• 특정 선형-제곱 제어 문제를 해결하고 명시적인 폐형 해를 구하는 것.
• 순환 유용성과 함께 자산부채관리 및 체계적 리스크 모델링에 응용할 수 있는 이론적 기반을 제공하는 것.

제안 방법

• 최적 제어 문제의 전진-역행 구조를 분리하기 위해 후행 분리 방법을 적용한다.
• 평균장 성분과 부분 정보 구조를 동시에 다루기 위해 분해 기법을 활용한다.
• 노이즈가 있는 관측 하에서 상태와 그 기댓값을 추정하는 두 개의 결합된 전진-역행 최적 필터를 도출한다.
• 스토크라스틱 최대 원리와 필터링 이론을 사용하여 필요 및 충분한 최적성 조건을 유도한다.
• 유도된 필터와 리카티 유사 방정식을 활용하여 문제의 선형-제곱 변형을 해결한다.
• 계수에 대한 특정 구조적 가정 하에서 해석적 도출을 통해 폐형 해를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상태의 부분적이고 노이즈가 있는 관측만 가능할 경우, 평균장 전진-역행 확률적 시스템에 대한 최적 제어는 어떻게 공식화할 수 있는가?
• RQ2 부분 정보 하에서 이러한 제어 문제에 대한 필수 및 충분한 최적성 조건은 무엇인가?
• RQ3 관측 노이즈가 존재하는 상황에서 상태와 그 기댓값을 추정하기 위해 두 개의 결합된 전진-역행 최적 필터는 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ4 이 프레임워크에서 선형-제곱 제어 문제에 대해 폐형 해가 존재하는 데 필요한 구조적 조건는 무엇인가?
• RQ5 자산부채관리 또는 체계적 리스크 모델링과 같은 금융적 맥락에서 이 프레임워크는 어떻게 실용적으로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 부분적이고 노이즈가 있는 관측 하에서 상태와 평균장 추정을 가능하게 하는 두 개의 결합된 전진-역행 최적 필터를 도출한다.
• 유도된 필터링 구조를 활용하여 제어 문제에 대한 필요 및 충분한 최적성 조건을 수립한다.
• 선형-제곱 제어 문제의 경우, 명시적인 폐형 최적 제어 법칙과 상태 피드백 법칙을 확보한다.
• 이 솔루션 프레임워크는 순환 유용성을 포함한 금융 모델과 체계적 리스크에 적용 가능하며, 이전의 평균장 제어 결과를 확장한다.
• 분해 및 후행 분리 기법은 평균장 시스템 내 전진 및 역행 성분 간의 상호의존성을 효과적으로 다룬다.
• 결과는 부분 정보와 평균장 효과를 분석적 취급 가능성을 유지하면서 최적 제어 설계에 체계적으로 통합할 수 있음을 보여준다.