[논문 리뷰] An optimal control problem for mean-field forward-backward stochastic differential equation with partial information

Guangchen Wang, Hua Xiao외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 12.

Stochastic processes and financial applications인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 상태와 그 기대값에 선형으로 의존하는 드리프트 계수를 갖는 부분 정보 및 노이즈 있는 관측 조건 하에서 평균장 전방-후방 스토하스틱 미분방정식에 대한 최적 제어 문제를 다룬다. 후방 분리 방법과 분해 기법을 사용하여 두 개의 최적성 조건과 두 개의 연관된 전방-후방 최적 필터를 유도함으로써 금융 수학 분야의 여러 선형-제곱 제어 문제에 대해 닫힌 형태의 해를 도출한다.

ABSTRACT

This article is concerned with an optimal control problem derived by mean-field forward-backward stochastic differential equation with noisy observation, where the drift coefficients of the state equation and the observation equation are linear with respect to the state and its expectation. The control problem is different from the existing literature on optimal control for mean-field stochastic systems, and has more applications in mathematical finance, e.g., asset-liability management problem with recursive utility, systematic risk model. Using a backward separation method with a decomposition technique, two optimality conditions along with two coupled forward-backward optimal filters are derived. Several linear-quadratic optimal control problems for mean-field forward-backward stochastic differential equations are studied. Closed-form optimal solutions are explicitly obtained in detailed situations.

연구 동기 및 목표

• 부분 정보 및 노이즈 있는 관측 조건 하에서 평균장 전방-후방 스토하스틱 미분방정식에 대한 최적 제어 문제를 다루는 것.
• 기존 문헌을 확장하기 위해 상태와 그 기대값에 모두 의존하는 선형 드리프트 계수를 포함하는 것.
• 순차적 유용성과 체계적 리스크를 고려한 자산부채관리와 같은 실제 금융 응용을 모델링하는 것.
• 부분 정보 하에서 제어 문제에 대한 명시적 최적성 조건과 필터를 도출하는 것.
• 평균장 프레임워크 내에서 특정 선형-제곱 제어 문제에 대해 닫힌 형태의 해를 제공하는 것.

제안 방법

• 시스템의 전방 및 후방 성분을 분리하기 위해 후방 분리 방법을 적용하는 것.
• 상태 기대값을 포함하는 평균장 항을 다루기 위해 분해 기법을 적용하는 것.
• 부분 관측 조건 하에서 상태와 그 기대값을 추정하기 위해 두 개의 연관된 전방-후방 최적 필터를 구성하는 것.
• 분리 및 분해 결과를 바탕으로 두 개의 최적성 조건을 도출하는 것.
• 유도된 조건과 필터를 활용하여 특정 선형-제곱 제어 문제를 해결하는 것.
• 구체적인 구조적 가정 하에서 분석적 도출을 통해 명시적 닫힌 형태의 해를 얻는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오직 부분적이고 노이즈 있는 관측만 가능할 때, 평균장 전방-후방 스토하스틱 미분방정식에서 최적 제어를 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ2 상태 및 그 기대값에 대해 선형 드리프트를 갖는 이러한 제어 문제에 대해 필요한 최적성 조건은 무엇인가?
• RQ3 부분 정보 상황에서 상태 기대값을 포함하는 평균장 항은 어떻게 효과적으로 다룰 수 있는가?
• RQ4 노이즈 있는 관측 조건 하에서 상태와 그 기대값을 추정하는 데 있어 연관된 전방-후방 최적 필터는 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 제어 문제의 선형-제곱 변형에 대해 닫힌 형태의 해를 도출할 수 있는 조건는 무엇인가?

주요 결과

• 후방 분리 방법과 분해 기법을 사용하여 두 개의 최적성 조건을 도출함으로써 제어 문제의 체계적 해법이 가능해졌다.
• 부분적이고 노이즈 있는 관측 조건 하에서 상태와 그 기대값을 추정하기 위해 두 개의 연관된 전방-후방 최적 필터가 구성되었다.
• 이 방법은 상태와 그 기대값에 모두 의존하는 선형 드리프트 계수를 효과적으로 처리하여 기존 프레임워크를 확장하였다.
• 특정 선형-제곱 제어 문제에 대해 논문은 명시적 닫힌 형태의 최적 해를 도출하였다.
• 이 프레임워크는 순차적 유용성을 고려한 자산부채관리 및 체계적 리스크 모델링과 같은 금융 문제에 적용 가능하다.
• 유도된 필터와 조건들이 부족 정보 하에서 최적 제어 문제를 해결하는 데 효과적임이 입증되었다.