[논문 리뷰] A combinatorial take on hierarchical hyperbolicity and applications to quotients of mapping class groups

Jason Behrstock, Mark Hagen외 2명|Bristol Research (University of Bristol)|2020. 05. 01.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 52인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 링크의 하이퍼볼릭성과 조합적 교차 조건을 바탕으로, 하이퍼볼릭 단순형 복합체 위에서 작용하는 군이 계층적으로 하이퍼볼릭인지를 판단하기 위한 조합적 기준을 제시한다. 주요 기여는 잔여 유한성 조건 하에, 딜레이드 트위스트의 고차항에 의한 매핑 클래스 군의 몫이 계층적으로 하이퍼볼릭임을 증명하는 것으로, 특히 종수 2에서는 상대적으로 하이퍼볼릭임을 보여준다. 이는 새로운 비원소적 하이퍼볼릭 몫을 구성할 수 있게 한다.

ABSTRACT

We give a simple combinatorial criterion, in terms of an action on a hyperbolic simplicial complex, for a group to be hierarchically hyperbolic. We apply this to show that quotients of mapping class groups by large powers of Dehn twists are hierarchically hyperbolic (and even relatively hyperbolic in the genus 2 case). Under residual finiteness assumptions, we construct many non-elementary hyperbolic quotients of mapping class groups. Using these quotients, we reduce questions of Reid and Bridson-Reid-Wilton about finite quotients of mapping class groups to residual finiteness of specific hyperbolic groups.

연구 동기 및 목표

• 단순형 복합체 위에서 군 작용의 계층적 하이퍼볼릭성을 검증하기 위한 간단한 조합적 기준을 제공하기.
• 딜레이드 트위스트의 고차항에 의한 매핑 클래스 군 몫이 계층적으로 하이퍼볼릭함을 입증하기, 특히 종수 2에서 상대적으로 하이퍼볼릭임을 강조하기.
• 매핑 클래스 군의 유한 몫에 관한 질문을 특정 하이퍼볼릭 군의 잔여 유한성에 환원하기.
• 잔여 유한성 조건 하에 매핑 클래스 군의 비원소적 하이퍼볼릭 몫을 구성하기.

제안 방법

• 유한 개의 H-오빗을 간선에 더함으로써 하이퍼볼릭 복합체가 되는 단순형 복합체를 하이퍼볼릭 H-공간으로 정의한다.
• 단체의 링크에 대한 조건 (A) 및 (B)를 설정한다: (A) 동치 링크의 여집합에 대한 쿼어지-이소메트릭 임bedding; (B) 단체의 합으로서의 조합적 교차 구조.
• 보조 복합체에서 지오데식선에 대한 귀납법과 업그레이드 기법을 사용하여 궤도 사상의 쿼어지-이소메트릭 임베딩을 검증한다.
• 그린들러의 보조정리 및 보조 보조정리를 적용하여 몫에서 군 원소의 행동을 제어하고 몫 사상의 단사성을 확보한다.
• 복잡도 함수 c(γ)를 잘 순서화된 구조로 활용하여 지오데식선의 최소화된 리프팅을 유도하고, 비자명성 조건 하에서 모순을 도출한다.
• 복합 사영 체계와 도는 가족 구조를 통해 몫 복합체가 계층적 하이퍼볼릭성을 상속함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단순형 복합체 위에서 군 작용이 계층적으로 하이퍼볼릭임을 판단할 수 있는 조합적 및 기하적 조건는 무엇인가?
• RQ2 딜레이드 트위스트의 고차항에 의한 매핑 클래스 군 몫이 계층적으로 하이퍼볼릭임을 입증할 수 있으며, 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ3 하이퍼볼릭 군의 잔여 유한성은 어떻게 하여 매핑 클래스 군의 비원소적 하이퍼볼릭 몫을 구성하는 데 활용될 수 있는가?
• RQ4 어떤 조건에서 몫 군에서 몫 복합체로의 궤도 사상이 쿼어지-이소메트릭 임베딩이 되는가?
• RQ5 원래 매핑 클래스 군의 계층적 하이퍼볼릭 구조는 어느 정도까지 그 몫들에서 유지되는가?

주요 결과

• 딜레이드 트위스트의 고차항에 의한 매핑 클래스 군 몫은 계층적으로 하이퍼볼릭이며, 종수 2의 경우 상대적으로 하이퍼볼릭이다.
• 이 증명은 링크의 하이퍼볼릭성과 단체의 합 조건을 바탕으로 한 새로운 계층적 하이퍼볼릭성 조건에 의존한다.
• 잔여 유한성 조건 하에, 이 논문은 매핑 클래스 군의 많은 비원소적 하이퍼볼릭 몫을 구성한다.
• 몫 군에서 몫 복합체로의 궤도 사상은 쿼어지-이소메트릭 임베딩이 되며, 기하적 제어를 보장한다.
• 핵이 특정 부분군에 제한되었을 때 토르션-자유성 덕분에 자명하므로, 몫 사상은 그 부분군에서 단사적이다.
• 증명은 지오데식선의 리프팅을 제어하고 비자명성 조건 하에서 모순을 도출하기 위해 최소 복잡도 함수 c(γ)를 사용한다.