[논문 리뷰] On power subgroups of mapping class groups

Louis Funar|arXiv (Cornell University)|2009. 10. 08.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 37인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 방향성 있는 표면의 매핑 클래스 군의 힘 부분군과 힘 몫을 조사한다. 흩어진 단순 닫힌 곡선들의 집합에 대해 D ≥ 2이면, 디한 테입의 D제곱으로 생성되는 부분군이 오른쪽-각도 아르틴 군임을 증명한다. 또한 4g+2가 D를 나누지 못하면 g ≥ 3일 때 힘 몫 M_g[D]가 자명함을 보이며, 무한히 많은 D에 대해 무한한 힘 몫을 가지며, 특히 종수 2에서는 무한한 토피어스 몫을 명시적으로 구성한다.

ABSTRACT

In the first part of this paper we prove that the mapping class subgroups generated by the $D$-th powers of Dehn twists (with $D\geq 2$) along a sparse collection of simple closed curves on an orientable surface are right angled Artin groups. The second part is devoted to power quotients, i.e. quotients by the normal subgroup generated by the $D$-th powers of all elements of the mapping class groups. We show first that for infinitely many $D$ the power quotient groups are non-trivial. On the other hand, if $4g+2$ does not divide $D$ then the associated power quotient of the mapping class group of the genus $g\geq 3$ closed surface is trivial. Eventually, an elementary argument shows that in genus 2 there are infinitely many power quotients which are infinite torsion groups.

연구 동기 및 목표

• 매핑 클래스 군에서 디한 테입의 D제곱으로 생성되는 부분군의 대수적 구조를 이해하기 위해.
• 모든 원소의 D제곱으로 생성되는 정규부분군에 대한 매핑 클래스 군의 몫이 자명하거나 비자명한지 결정하기 위해.
• 특히 낮은 종수에서 이러한 힘 몫의 유한성과 토피어스 성질을 조사하기 위해.
• 곡선의 교차 그래프를 통해 힘 부분군과 오른쪽-각도 아르틴 군 간의 관계를 탐구하기 위해.
• 특히 양자 위상수학과 군론 기법을 사용하여 힘 몫이 무한한 조건을 설정하기 위해.

제안 방법

• 희소한 단순 닫힌 곡선들의 교차 그래프를 사용하여, 디한 테입의 D제곱으로 생성되는 힘 부분군에 오른쪽-각도 아르틴 군의 구조를 정의한다.
• 큰 D에 대해 자유 버나이드 군이 무한함을 보여주는 아디안, 뉴빅프, 리센옥의 깊은 결과를 응용하여 무한한 힘 몫을 구성한다.
• 구멍이 난 구면에서 자유군 F_2로의 전성사상을 사용하여, 고차원 종수 매핑 클래스 군으로의 무한성 결과를 이전한다.
• 초타원적 대칭의 중심화자에서 M_g가 M_0^{6}로 전사함을 이용하여, M_0^{6}에서의 무한성 결과를 M_g로 이전한다.
• 유한지수 부분군이 무한한 D-힘 몫을 가지면, 더 큰 D'에 대해 상위군도 무한한 D'-힘 몫을 가진다는 군론 레마를 활용한다.
• M_2가 Z/2Z 확장으로 M_0^6로 전사하므로, 종수 2로의 무한성 결과를 이전한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종수 g 표면에서 모든 디한 테입의 D제곱으로 생성되는 부분군 M_g[D]가 자명하거나 비자명한가?
• RQ2 4g+2가 D를 나누는지의 여부와 관련하여, 몫 M_g / M_g[D]가 자명한가? 특히 4g+2가 D를 나누지 못할 경우.
• RQ3 힘 몫 M_g[D]가 무한한가? 만약 그렇다면, 어떤 D와 종수 g에 대해 성립하는가?
• RQ4 희소한 곡선 집합에 따라 디한 테입의 D제곱으로 생성되는 부분군이 오른쪽-각도 아르틴 군과 동형인가?
• RQ5 특히 종수 2에서, M_g[D]의 힘 몫이 무한한 토피어스 군을 형성하는가?

주요 결과

• D ≥ 2 및 흩어진 단순 닫힌 곡선들의 집합에 대해, 디한 테입의 D제곱으로 생성되는 부분군 M(S)(A;D)는 오른쪽-각도 아르틴 군과 동형이다.
• g ≥ 3일 때, 4g+2가 D를 나누지 않으면 힘 몫 M_g[D]는 자명하다.
• 무한히 많은 D에 대해 힘 몫 M_g[D]는 비자명하며, 특히 종수 2에서는 무한하다.
• 종수 2에서는 M_2[D]가 무한한 토피어스 군이 되는 무한히 많은 D가 존재한다.
• n ≥ 4 및 D ≥ 8000일 때, Q(M_0^n)[n(n-1)(n-2)(n-3)D]는 F_2로의 전성사를 통해 무한하다.
• 충분히 큰 D에 대해, M_g에서 초타원적 대칭의 중심화자는 무한한 힘 몫을 가지며, 이는 M_g에서도 유사한 결과를 암시한다.