[논문 리뷰] A combinatorial theory of random matrices III: random walks on $\mathfrak{S}(N)$, ramified coverings and the $\mathfrak{S}(\infty)$ Yang-Mills measure

Franck Gabriel|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 05.

Random Matrices and Applications참고 문헌 15인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 N → ∞일 때, 디스크 위의 램프된 커버링에 대한 단일화 필드의 수렴성을 증명함으로써 σ(∞)-양밀스 마스터 필드의 존재를 확립한다. 대칭군 S(N) 위의 랜덤 워크와 전치에 의한 S(N)-양밀스 측도의 등가성을 이용하여, 비가환 및 P-분포에서의 점근 수렴을 도출하고, 그 극한 과정이 명시적으로 계산 가능한 로그-준위수 변환을 가진 비자유적 곱셈 P-레비 과정임을 규명한다.

ABSTRACT

The aim of this article is to study some asymptotics of a natural model of random ramified coverings on the disk of degree $N$. We prove that the monodromy field, called also the holonomy field, converges in probability to a non-random field as $N$ goes to infinity. In order to do so, we use the fact that the monodromy field of random uniform labelled simple ramified coverings on the disk of degree $N$ has the same law as the $\mathfrak{S}(N)$-Yang-Mills measure associated with the random walk by transposition on $\mathfrak{S}(N)$. This allows us to restrict our study to random walks on $\mathfrak{S}(N)$: we prove theorems about asymptotics of random walks on $\mathfrak{S}(N)$ in a new framework based on the geometric study of partitions and the Schur-Weyl-Jones's dualities. In particular, given a sequence of conjugacy classes $(λ\_N \subset \mathfrak{S}(N))\_{N \in \mathbb{N}}$, we define a notion of convergence for $(λ\_N)\_{N \in \mathbb{N}}$ which implies the convergence in non-commutative distribution and in $\mathcal{P}$-expectation of the $λ\_N$-random walk to a $\mathcal{P}$-free multiplicative L{é}vy process. This limiting process is shown not to be a free multiplicative L{é}vy process and we compute its log-cumulant functional. We give also a criterion on $(λ\_N)\_{N \in \mathbb{N}}$ in order to know if the limit is random or not.

연구 동기 및 목표

• N → ∞일 때, 디스크 위의 램프된 커버링에 대한 단일화 필드의 결정론적 극한의 존재를 확립하는 것.
• 전치를 통해 S(N)-양밀스 측도와 S(N) 위의 랜덤 워크 사이의 연결을 맺어 조합론적 및 표현 이론적 도구의 사용을 가능하게 하는 것.
• S(N)의 쌍대류 클래스 수열 (λ_N)_{N ∈ ℕ}에 대한 수렴 기준을 정의하여, 이에 대응하는 랜덤 워크의 비가환 및 P-분포 수렴을 보장하는 것.
• 극한 과정이 자유롭지 않은 곱셈 P-레비 과정임을 특성화하고, 그 로그-준위수 변환을 명시적으로 계산하는 것.

제안 방법

• S(N)-양밀스 측도와 S(N) 위의 균일한 쌍대류 클래스 λ_N에서 선택된 원소에 의해 유도되는 랜덤 워크의 법칙 사이의 등가성을 활용하여 군론적 및 확률론적 방법을 적용한다.
• 정수 분할의 기하학적 분석과 슈어-웨일-존스 이중성을 적용하여 S(N) 위의 랜덤 워크의 점근적 성질을 연구한다.
• S(N)의 쌍대류 클래스 수열 (λ_N)에 대한 새로운 수렴 기준을 도입하여, 이에 대응하는 랜덤 워크의 비가환 및 P-분포 수렴을 보장한다.
• 통합된 그래프의 면적 라소에서 호리존 변수의 P-자유성에 기반하여, 곱셈 자유 확률론 기법을 사용해 마스터 필드를 계산한다.
• P-분포 프레임워크와 [15]의 결과를 활용하여 N → ∞일 때 정규화된 행렬 곱의 추적 극한을 계산하며, 특히 E m_{(1,2)}[ML, ML^{-1}] 공식을 사용한다.
• 독립적인 S_t^N-분포를 가진 변수들에 대해 1/N E[Tr(C_N B_N A_N^{-1} B_N A_N)]의 점근적 행동을 분석함으로써 극한 과정의 로그-준위수 변환을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 S(N)의 쌍대류 클래스 수열 (λ_N)_{N ∈ ℕ}에 대해 어떤 조건이 N → ∞일 때 비가환 분포에서 관련된 λ_N-랜덤 워크의 수렴을 보장하는가?
• RQ2 S(∞)-양밀스 측도에서 단일화 필드의 극한 과정의 성격은 무엇이며, 자유 곱셈 레비 과정인가?
• RQ3 면적 그래프에 임베딩된 고리에 대해, 면적 라소와 점근적 P-자유성에 기반하여 S(∞)-마스터 필드를 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 S(N)-양밀스 측도로부터 유도된 극한 곱셈 P-레비 과정의 로그-준위수 변환의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ5 극한 필드가 결정론적인지 랜덤인지 결정하는 기준은 무엇인가?

주요 결과

• N → ∞일 때, 디스크 위의 람프된 랜덤 커버링에 대한 단일화 필드는 확률적으로 비결정론적 연속 필드로 수렴하며, 이는 S(∞)-마스터 필드의 존재를 증명한다.
• S(N)-양밀스 측도는 λ_N-랜덤 워크의 법칙과 등가하므로, 점근적 성질을 분석하기 위해 조합론적 도구를 사용할 수 있다.
• 전치의 경우(λ_N = 전치), 극한 과정은 로그-준위수 변환이 명시적으로 계산 가능한 비자유 곱셈 P-레비 과정이다.
• 고리 l = aba^{-1}bc에 대해 극한 필드 φ(l)는 φ(l) = e^{-u}[e^{-2t} + e^{-t}e^{-s} - e^{-2t}e^{-s} + e^{-2t}e^{-2s} - e^{-2t}e^{-2s}t]로 주어지며, 여기서 s,t,u는 면적 라소와 관련된 시간 매개변수이다.
• 로그-준위수 전개에서 비영인 교차항(특히 -e^{-2t}e^{-2s}t 항)이 존재함에 따라 극한 과정은 자유 곱셈 레비 과정이 아니며, 이는 비자유성을 뒷받침한다.
• 정규화된 추적 1/N E[Tr(C_N B_N A_N^{-1} B_N A_N)]이 점근적 P-자유성과 [15]의 보조정리 5.1의 적용을 통해 위의 표현으로 수렴함을 증명하였다.