[논문 리뷰] A comparison between Caputo and Caputo-Fabrizio fractional derivatives for modelling Lotka-Volterra differential equations

Leila Eftekhari, Soleiman Hosseinpour외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 10.

Fractional Differential Equations Solutions인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 3차원 Lotka-Volterra 시스템을 모델링하는 데서 Caputo 및 Caputo-Fabrizio 분수도수를 비교하며, 비특이 커널을 가진 Caputo-Fabrizio 연산자에 적합한 새로운 Adams-Bashforth 기반 수치 방법을 도입한다. 결과적으로 분수도수의 선택과 미분의 차수는 시스템의 안정성과 역학에 중대한 영향을 미치며, 특정 조건 하에서 Caputo-Fabrizio 접근법이 향상된 수치 안정성을 제공함을 보여준다.

ABSTRACT

We study distributed lag effects in three-dimensional Lotka-Volterra systems by applying the concept of fractional calculus. We derive a new numerical method that provides enhanced stability for the Caputo-Fabrizio operator based on Adams-Bashforth method, considering non-singular kernel in the definition of Caputo-Fabrizio operator. We investigate the stability conditions of this system with comparisons to the Caputo fractional derivative. Numerical results show that the type of differential operators and the value of orders significantly influence the stability of the numerical solution, and dynamics of the Lotka-Volterra system.

연구 동기 및 목표

• 3차원 Lotka-Volterra 시스템의 안정성과 역학에 미치는 분수도수의 유형—Caputo 대비 Caputo-Fabrizio—의 영향을 조사하는 것.
• 비특이 커널을 가진 Caputo-Fabrizio 분수도수에 특화된 안정적인 수치 방법을 개발하는 것.
• 분수도수의 차수 변화가 시스템의 장기적 행동과 안정성에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 생태학적 모델링 맥락에서 두 분수도수 공식화의 수치 성능 및 안정성 특성을 비교하는 것.

제안 방법

• Caputo-Fabrizio 분수도수를 다룰 수 있도록 Adams-Bashforth 방법을 수정하여 시스템을 해석할 때 수치 안정성을 확보하는 것.
• Caputo-Fabrizio 정의에 비특이 커널을 통합하여 인구 역학에서의 분포 지연 효과를 모델링하는 것.
• Caputo-Fabrizio 연산자에 대해 안정성을 유지하는 새로운 수치 스킴을 유도하며, 특히 다양한 분수도수에 대해 유의미한 결과를 도출하는 것.
• Caputo 및 Caputo-Fabrizio 공식화 하에서 3차원 Lotka-Volterra 시스템을 시뮬레이션하기 위해 수치 방법을 구현하는 것.
• 다양한 분수도수에서 수치 스킴의 수렴성과 강건성을 검증하기 위한 수치적 안정성 분석을 수행하는 것.
• 두 분수도수 모델을 통해 도출된 수치 해를 비교하여 시스템 행동과 안정성의 차이를 평가하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Caputo 및 Caputo-Fabrizio 분수도수 간의 선택이 3차원 Lotka-Volterra 시스템의 수치 해의 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 두 공식화 하에서 분수도수를 변화시킬 경우 시스템의 역학과 장기적 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 수정된 Adams-Bashforth 방법이 기존 접근 방식에 비해 Caputo-Fabrizio 연산자에 대해 향상된 안정성을 보장할 수 있는가?
• RQ4 분수적 미분을 통한 분포 지연 효과 모델링이 이 시스템의 포식자-피식자 인구 상호작용에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 Caputo 대비 Caputo-Fabrizio 도수를 사용할 경우 시스템 궤적의 정성적 및 정량적 차이점은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 Adams-Bashforth 기반 방법을 사용한 Caputo-Fabrizio 도수에서는 표준 구현 대비 향상된 수치 안정성을 보였다.
• 분수도수가 Lotka-Volterra 시스템의 안정성과 진동 행동에 중대한 영향을 미치며, 다양한 차수에서 뚜렷한 역학적 특성이 관찰되었다.
• 분수도수의 유형—Caputo 대비 Caputo-Fabrizio—는 해 궤적과 수렴 성질에 측정 가능한 차이를 초래한다.
• Caputo-Fabrizio 공식화에 포함된 비특이 커널은 인구 상호작용에서의 분포 지연 효과를 효과적으로 모델링한다.
• 수치 시뮬레이션은 도수의 유형과 미분의 차수가 시스템의 안정성과 장기적 행동을 결정하는 데 핵심적인 요소임을 확인한다.
• 제안된 방법은 시험된 모든 분수도수에서 안정성을 유지하여 기억 효과를 가진 생태계 시스템 모델링에 신뢰할 수 있음을 시사한다.