[논문 리뷰] A Computational Approach to Multistationarity in Poly-PL Kinetic Systems

Daryl M. Magpantay, Bryan S. Hernandez외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 12.

Gene Regulatory Network Analysis참고 문헌 23인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다중정류성 용량을 평가하기 위한 계산 방법을 제시한다. 다각형-파워법 동역학계(PYK)를 별도의 동역학적 등가 파워법 동역학계(PLK)로 변환하기 위해 STAR-MSC 변환을 사용하며, 변환된 PLK 시스템에 다중정류성 알고리즘(MSA)을 적용함으로써, PLK 시스템이 한 개의 스토이키오메트릭 클래스 내에서 다수의 양의 평형점을 가질 경우 원래의 PYK 시스템 역시 다수의 양의 평형점을 가짐을 입증한다. 이는 비질량작용 동역학을 갖는 복잡한 생물화학적 네트워크의 분석을 보다 넓게 가능하게 한다.

ABSTRACT

One important question that interests those who work in chemical reaction network theory (CRNT) is this: Does the system obtained from a reaction network admit a positive equilibrium and if it does, can there be more than one within a stoichiometric class? The higher deficiency algorithm (HDA) of Ji and Feinberg provided a method of determining the multistationarity capacity of a CRN with mass action kinetics (MAK). An extension of this, called Multistationarity Algorithm (MSA), recently came into the scene tackling CRNs with power law kinetics (PLK), a kinetic system which is more general (having MAK systems as a special case). For this paper, we provide a computational approach to study the multistationarity feature of reaction networks endowed with kinetics which are non-negative linear combinations of power law functions called poly-PL kinetics (PYK). The idea is to use MSA and combine it with a transformation called STAR-MSC (i.e., $S$-invariant Termwise Addition of Reactions via Maximal Stoichiometric Coefficients) producing PLKs that are dynamically equivalent to PYKs. This leads us to being able to determinine the multistationarity capacity of a much larger class of kinetic systems. We show that if the transformed dynamically equivalent PLK system is multistationary for a stoichiometric class for a set of particular rate constants, then so is its original corresponding PYK system. Moreover, the monostationarity property of the transformed PLK system also implies the monostationarity property of the original PYK system.

연구 동기 및 목표

• 다각형-파워법 동역학계(PYK)가 단일 스토이키오메트릭 클래스 내에서 다수의 양의 평형점을 가질 수 있는지 여부를 규명하는 데 도전하는 것.
• 파워법 동역학계(PLK)에 대해 개발된 다중정류성 알고리즘(MSA)을 더 일반적인 다각형-파워법 동역학계 클래스로 확장하는 것.
• 원래의 PYK 시스템으로부터 동역학적으로 등가인 PLK 시스템을 생성하는 변환인 STAR-MSC를 개발하는 것.
• 비질량작용 동역학을 갖는 복잡한 생물화학적 네트워크에서 다중정류성 용량을 분석할 수 있는 계산 프레임워크를 제공하는 것.
• 변환된 PLK 시스템에서의 다중정류성이 원래의 PYK 시스템에서의 다중정류성으로 이어지는 조건을 설정하는 것.

제안 방법

• PYK 시스템을 동역학적으로 등가인 PLK 시스템으로 변환하기 위해 S-불변 반응의 항별 덧셈(최대 스토이키오메트릭 계수 기반)인 STAR-MSC 변환을 적용하여 동일한 스토이키오메트릭 부분공간을 유지한다.
• 변환된 PLK 시스템에 다중정류성 알고리즘(MSA)을 적용하여 스토이키오메트릭 클래스 전반에 걸친 다중정류성 용량을 평가한다.
• 원래의 PYK 시스템의 양의 평형점이 해당 속도 상수에 대해 변환된 PLK 시스템의 평형점이기도 하다는 사실을 활용한다.
• 스토이키오메트릭 행렬 $ L_{\text{R}} $의 핵을 구하여 평형 조건 $ \boldsymbol{\beta}^T L_{\text{R}} = 0 $ 를 만족하는 속도 상수 벡터 $ \boldsymbol{\beta} $ 를 식별한다.
• 각 반응물 복합체 $ y $ 에 대해 $ e^{T_{.y} \boldcdot \boldsymbol{\nu}} $ 를 계산하여 변환된 속도 상수를 평가한다. 여기서 $ T_{.y} $ 는 동역학 순서 행렬의 열이다.
• 평형 조건에서 가중치가 부여된 반응 벡터의 합 $ \boldsymbol{\beta}^T (y' - y) $ 와 $ \boldsymbol{\beta}^T (e^{T_{.y} \boldcdot \boldsymbol{\nu}} (y' - y)) $ 가 모두 0이 되는지 확인함으로써 다중정류성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다각형-파워법 동역학계(PYK)는 단일 스토이키오메트릭 클래스 내에서 다수의 양의 평형점을 가질 수 있는가?
• RQ2 STAR-MSC 변환 하에서 PYK 시스템의 다중정류성 용량이 동역학적으로 등가인 PLK 시스템의 다중정류성 용량과 일치하는가?
• RQ3 변환된 PLK 시스템이 단정류성을 보일 경우, 원래의 PYK 시스템이 단정류성을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ4 다중정류성 알고리즘(MSA)은 어떻게 PYK 시스템을 PLK 시스템으로 변환함으로써 확장될 수 있는가?
• RQ5 동역학 순서 행렬과 벡터 $ \boldsymbol{\nu} $ 는 PYK 시스템에서 평형 구성 조건을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• STAR-MSC를 통해 유도된 변환된 PLK 시스템은 원래의 PYK 시스템의 다중정류성 용량을 유지하며, 이는 PYK 네트워크에 MSA를 적용할 수 있게 한다.
• 실험 예시에서 시스템은 두 개의 서로 다른 양의 평형점을 갖는다: $ c^* = (3.1640, 0.5820) $ 과 $ c^{**} = (1.1640, 1.5820) $ 로, 다중정류성이 확인된다.
• MSA로부터 유도된 속도 상수는 스토이키오메트릭 및 동역학적 평형 조건을 모두 만족하며, $ \boldsymbol{\beta}^T L_{\text{R}} = 0 $ 과 $ \boldsymbol{\beta}^T (e^{T_{.y} \boldcdot \boldsymbol{\nu}} (y' - y)) = 0 $ 이다.
• 이 방법은 변환된 PLK 시스템이 모든 스토이키오메트릭 클래스에서 단정류성을 보일 경우, 원래의 PYK 시스템 역시 단정류성을 갖는다는 것을 확인한다.
• 이 변환은 동역학적 등가성을 보장하여, 동일한 속도 상수에 대해 PYK 시스템과 그 PLK 실현형 사이에 동일한 양의 평형점 집합이 존재한다.
• 이 방법은 질량작용 법칙과 표준 PLK 시스템을 초월한 더 넓은 범위의 생물화학적 네트워크에서 다중정류성의 계산 분석을 가능하게 한다.