[논문 리뷰] A conforming discontinuous Galerkin finite element method: Part II

Xiu Ye, Shangyou Zhang|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 01.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 15인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 높은 차수의 다항식 근사와 함께 새로운 약한 기울기 연산자 ∇w를 도입하여, 일반적인 다면체 메esh에 대해 일치하는 불연속 갈레르킨(DG) 유한요소 방법을 확장한다. 이 방법은 안정화 또는 벌점 항 없이도 이산 H¹ 및 L² 노름에서 최적 수렴률을 달성하며, 비정규 메쉬 상의 2차 타원형 문제에 대해 단순하고 안정적이며 유연한 설정을 제공한다.

ABSTRACT

A conforming discontinuous Galerkin (DG) finite element method has been introduced in [21] on simplicial meshes, which has the flexibility of using discontinuous approximation and the simplicity in formulation of the classic continuous finite element method. The goal of this paper is to extend the conforming DG finite element method in \cite{cdg1} so that it can work on general polytopal meshes by designing weak gradient $ abla_w$ appropriately. Two different conforming DG formulations on polytopal meshes are introduced which handle boundary conditions differently. Error estimates of optimal order are established for the corresponding conforming DG approximation in both a discrete $H^1$ norm and the $L^2$ norm. Numerical results are presented to confirm the theory.

연구 동기 및 목표

• 기존에 단순형 메쉬에 대해 개발된 일치하는 DG 유한요소 방법을 일반적인 다면체 메쉬로 확장하기.
• 비정규 다각형/다면체 요소에서 최적 수렴을 보장하면서도 약한 갈레르킨 설정 (5)의 단순성을 유지하기.
• 높은 차수의 다항식을 사용하여 약한 기울기 연산자 ∇w를 철저히 설계함으로써 안정화 또는 벌점 항이 필요 없도록 하기.
• 강제 적용 및 약한 적용이라는 두 가지 별개의 설정을 통해 딜레르흐 경계 조건을 처리하기.
• 최종적으로 유도된 일치하는 DG 근사에 대해 이산 H¹ 및 L² 노름에서 엄밀한 오차 추정을 수립하기.

제안 방법

• 다각형 요소에서 다항식의 차수 k+2를 사용하여 일致성과 안정성을 확보하는 새로운 약한 기울기 연산자 ∇w를 정의한다.
• 강제 적용된 딜레르흐 경계 조건과 수치 유량을 통한 약한 적용을 각각 사용하는 두 가지 일치하는 DG 설정을 구성한다.
• 이산 문제를 식 (5)로 기술한다: 모든 v ∈ V_h에 대해 (∇w u_h, ∇w v) = (f, v)로, 편미분방정식의 약한 형태를 모방한다.
• 각 요소 T에서 국소 다항식 공간 P_k(T)를 사용하며, 약한 기울기를 요소 경계를 기반으로 한 이산 변분 설정을 통해 정의한다.
• 이 방법이 이산 해가 강하게 또는 약하게 경계 조건을 만족하는 방식으로 일치성을 유지함을 보장한다.
• ∇w에 대해 다항식의 차수를 높여도 전역 스파arsity나 강성 행렬의 크기가 변하지 않음을 활용하여 계산 효율성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 안정화 또는 벌점 항 없이 일반적인 다면체 메쉬에서 최적 수렴을 보이는 일치하는 DG 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 다면체 요소에서 고차수 다항식을 사용할 경우, 약한 기울기 연산자 ∇w를 어떻게 설계하여 일致성과 안정성을 유지할 수 있는가?
• RQ3 다면체 메쉬에서 딜레르흐 경계 조건을 강제 적용하거나 약하게 적용했을 때, 일치하는 DG 방법의 수렴 성질은 어떠한가?
• RQ4 이중형 DG 방법이 단순한 약한 갈레르킨 설정의 단순성을 유지하면서도 단순형 메쉬를 초월한 적용 가능성을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ5 다면체 메쉬에서 새로운 설정에 대해 이산 H¹ 및 L² 노름에서 최적의 오차 추정을 엄밀히 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 일치하는 DG 방법은 다항식 차수 k에 대해 이산 H¹ 노름에서 주기 k+1, L² 노름에서 주기 k+2의 최적 수렴률을 달성한다.
• 수치 실험을 통해 삼각형 및 다각형 메쉬에서 강제 적용 및 약한 적용 모두에 대해 최적 수렴이 확인된다.
• 다각형 메쉬에서 P₁ 요소의 경우, L² 노름에서 수렴률 2.00, H¹ 노름에서 1.00을 기록하여 이론적 예측과 일치한다.
• 다각형 메쉬에서 P₃ 요소의 경우, L² 노름에서 수렴률 4.00, H¹ 노름에서 2.99–3.01을 기록하여 최적 순서임을 확인한다.
• 약한 기울기 연산자가 다항식 차수 j = k+2로 계산되어도 최적 수렴이 유지됨을 통해 강인성과 일관성을 입증한다.
• 안정화 또는 벌점 항이 없음으로써 복잡한 다면체 메쉬에서도 정확성과 안정성을 유지하면서도 더 단순하고 효율적인 설정을 확보한다.