[논문 리뷰] A conjectural connection between R^*(C_g^n) and R^*(M_{g,n}^rt)

Mehdi Tavakol|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 16.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 매끄럽고 순서가 지정된 $n$개의 점(서로 다를 필요 없음)을 가진 곡선 $\mathcal{C}_g^n$의 타우토로지적 관계와 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ (유리 꼬리가 있는 안정적 $n$-점 곡선) 사이의 추측적 사전을 제안한다. 이 논문은 타우토로지적 링의 고레인스타인 몫에 대해 이 추측의 유사성을 증명하며, $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$의 타우토로지적 군이 차수 $g-2+n$에서 일차원이며, 그 이상의 차수에서는 영이 됨을 보인다. 이는 루이지엔자와 파버의 결과를 활용한다.

ABSTRACT

Let M_{g,n}^rt be the moduli space of stable n-pointed curves of genus g>1 with rational tails. We also consider the space C_g^n classifying smooth curves of genus g with not necessarily distinct n ordered points. There is a natural proper map from M_{g,n}^rt to C_g^n which contracts all rational components. Tautological classes on these spaces are natural algebraic cycles reflecting the geometry of curves. In this short note we study the connection between tautological classes on M_{g,n}^rt and C_g^n. We show that there is a natural filtration on the tautological ring of M_{g,n}^rt consisting of g-2+n steps. A conjectural dictionary between tautological relations on M_{g,n}^rt and C_g^n is presented. Our conjecture predicts that the space of relations in R^*(M_{g,n}^rt) is generated by relations in R^*(C_g^n) together with a class of relations obtained from the geometry of blow-ups. This conjecture is equivalent to the the independence of certain tautological classes in Chow. We prove the analogue version of our conjecture for the Gorenstein quotients of tautological rings.

연구 동기 및 목표

• 타우토로지적 관계 사이의 추측적 대응을 $\mathcal{C}_g^n$ 과 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$라는 대수기하학에서 중요한 두 모듈리 공간 간에 수립하기.
• 특히 그 분할과 소멸 행동을 분석함으로써 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$의 타우토로지적 링의 구조를 분석하기.
• 이 타우토로지적 링의 고레인스타인 몫에 대해 추측의 유사성을 증명하기.
• 푸시포워드 및 제한 사상들을 통해 $\mathcal{C}_g^n$ 과 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$의 타우토로지적 클래스 간의 관계를 명확히 하기.
• 루이지엔자와 파버의 $\mathcal{C}_g^n$에 대한 알려진 결과와 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$의 타우토로지적 구조를 연결하기.

제안 방법

• 타우토로지적 링 $R^*(\mathcal{C}_g^n)$ 과 $R^*(\mathcal{M}_{g,n}^{rt})$를 카파 클래스 $\kappa_i$, 딜로우 클래스 $K_i$, $d_{i,j}$, 그리고 경계 딜로우 클래스 $D_I$ 로 생성되는 차우 링의 부분대수로 정의하기.
• 유리 꼬리의 수와 특수 점의 수에 기반하여 $R^*(\mathcal{M}_{g,n}^{rt})$에 길이 $g-2+n$인 자연스러운 필터레이션을 구성하기.
• 타우토로지적 클래스를 푸시포워드 및 제한을 통해 연결하기 위해 $p: \mathcal{M}_{g,n}^{rt} \to \mathcal{C}_g^n$ 의 수축 사상 사용하기.
• 루이지엔자의 $\mathcal{C}_g^n$ 에서의 소멸 결과와 파버의 결과를 적용하여 $R^*(\mathcal{M}_{g,n}^{rt})$ 의 구조 유추하기.
• 단항식의 그래프 구조에 대한 귀납법과 $D_I$ 클래스에서의 소멸 관계를 이용하여 추측적 사전이 고레인스타인 몫에 대해 성립함을 증명하기.
• 차수 $g-2+n$의 표준 단항식을 분석하고, 비영이 되기 위해서는 비자명한 그래프 성분이 없어야 하므로, 그 차수에서 링이 일차원임을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타우토로지적 관계 사이의 정확한 관계는 무엇인가? $\mathcal{C}_g^n$ 과 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 사이에.
• RQ2 기존 결과를 일반화하는 바탕으로, $\mathcal{C}_g^n$ 과 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 사이의 타우토로지적 관계에 대한 사전을 구성할 수 있는가?
• RQ3 타우토로지적 링 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 는 $g-2+n$ 이상의 차수에서 소멸하는가? 그리고 $g-2+n$ 차수에서 일차원인가?
• RQ4 추측적 사전에 따라, $\mathcal{C}_g^n$ 과 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 의 타우토로지적 링의 고레인스타인 몫은 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 프릭스턴의 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 에서의 타우토로지적 관계는 제안된 대응을 통해 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 와 $\mathcal{C}_g^n$ 의 관계와 연결될 수 있는가?

주요 결과

• 타우토로지적 군 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 는 차수 $g-2+n$에서 일차원이며, 그 이상의 모든 차수에서 영이다.
• 타우토로지적 관계 사이의 추측적 사전은 타우토로지적 링의 고레인스타인 몫에 대해 성립한다.
• $R^*(\mathcal{M}_{g,n}^{rt})$ 의 구조는 루이지엔자의 $\mathcal{C}_g^n$ 에서의 소멸 정리와 파버의 $\mathcal{C}_g^n$ 의 타우토로지적 링에 대한 결과로부터 유도된다.
• $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 에서 차수 $g-2+n$의 표준 단항식은 $\mathcal{C}_g^n$ 의 클래스의 역상에서 유래되어야 하며, 이는 비자명한 경계 기여가 없음을 암시한다.
• $\mathcal{C}_g^n$ 에서 $i > g-2$ 인 $\kappa_i$ 의 소멸은 수축 사상에 의해 $\mathcal{M}_{g,n}^{rt}$ 에서도 동일하게 소멸함을 암시한다.
• 증명은 단항식 관계의 그래프 구조 분석과 $D_I$ 및 $d_{i,j}$ 클래스를 포함하는 곱의 소멸에 기반하며, 최고 차수에서 비영이 되는 것은 오직 자명한 그래프 성분에서만 가능함을 보여준다.