[논문 리뷰] A Construction of Complete Ricci-flat Kähler Manifolds

Craig van Coevering|arXiv (Cornell University)|2008. 03. 02.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 3인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 다항식 다변수 다양체 $Y = X \setminus D$ 위에 완전한 리치-평탄한 켈러 계량이 존재함을, 고전적인 다변수에 대한 켈러-아인슈타인 조건을 초월하여 보여준다. 이는 연접선 다발 $N_D^*$ 내의 링크 $S \subset N_D^*$ 가 사사키-아인슈타인 기하학을 갖는 경우에 성립한다. 핵심 결과는 모든 소형 매끄러운 변형이 토릭 과거린 스타일 특이점을 가지며, 칼라비-안츠 메트릭에 점 渐진적으로 수렴하는 완전한 리치-평탄한 켈러 계량을 갖는다는 것이다. 이는 기존의 예들과 비교하여 일반화된 결과이며, 사사키 기하학을 통한 새로운 구성법을 제공한다.

ABSTRACT

We consider an extension of the results of S. Bando, R. Kobyashi, G. Tian, and S. T. Yau on the existence of Ricci-flat Kähler metrics on quasi-projective varieties Y=X\D with α[D]=c_1(X), α>1. The requirement that D admit a Kähler-Einstein metric is generalized to the condition that the link S in the normal bundle of D admits a Sasaki-Einstein structure in the Sasaki-cone of the usual Sasaki structure provided the embedding D\subset X satisfies an additional holomorphic condition. If D is a toric variety, then S always admits a Sasaki-Einstein metric. As an application we prove that every small smooth deformation of a toric Gorenstein singularity admits a complete Ricci-flat Kähler metric asymptotic to a Calabi ansatz metric. Some examples are given which were not previously known.

연구 동기 및 목표

• 다항식 다변수 다양체 $Y = X \setminus D$ 위에 완전한 리치-평탄한 켈러 계량이 존재함을, 다변수 $D$ 가 켈러-아인슈타인 계량을 갖는다는 조건을 초월하여 일반화하는 것.
• 많은 다변수 $D$ 가 기하학적 및 자기동형성 장애로 인해 켈러-아인슈타인 계량을 갖지 못하는 한계를 해결하는 것.
• 연접선 다발 내 링크 $S \subset N_D^*$ 가 사사키-아인슈타인 기하학을 갖는 조건을 확립하여 리치-평탄한 계량을 구성하는 것.
• 모든 소형 매끄러운 변형이 토릭 과거린 특이점을 가지며, 칼라비-안츠 메트릭에 점 渐진적으로 수렴하는 완전한 리치-평탄한 켈러 계량을 갖는다는 것을 증명하는 것.
• 토릭 및 사사키 기하학적 기법을 이용하여 이전에 알려지지 않은 칼라비-유우 다양체의 새로운 예를 제공하는 것.

제안 방법

• 링크 $S \subset N_D^*$ 상에서 리브 벡터장의 변화를 위해 사사키-콘 구조를 사용하여, $D$ 가 켈러-아인슈타인일 필요 없이도 사사키-아인슈타인 기하학을 갖도록 하는 것.
• 무한대 근처의 이웃 영역에서 칼라비-안츠 계량 구조를 적용하여 $Y = X \setminus D$ 에서 계량을 구성하며, $\omega = \frac{n}{\alpha-1} i\partial\bar{\partial} \|\sigma\|^{-2(\alpha-1)/n}$ 를 통해 정의된 켈러 계량을 사용한다. 여기서 $\sigma$ 는 $D$ 에서 영이 되는 단면이다.
• 다음과 같이 $D$ 에서의 순서 $\alpha$ 의 극을 갖는 헬로모르픽 $n$-형식 $\Omega$ 를 도입하고, 몽제-암페르 방정식을 풀어 리치-평탄한 계량을 구성한다.
• 모든 $k \geq 2$ 에 대해 $H^1(D, \Theta_X \otimes \mathcal{O}(-kD)|_D)$ 가 영이 되도록 요구하여, $D$ 의 변형 이론이 방해 없이 진행됨을 보장한다.
• 토릭 기하학을 이용하여 링크 $S$ 가 사사키-아인슈타인 기하학을 갖는다는 것을 보장하며, 다각형 $P$ 의 반사 대칭성을 활용한다.
• 다각형의 민코프스키 분해를 통해 예를 구성하여, 토릭 특이점의 매끄러운 변형 $\hat{X}$ 가 무한한 수의 리치-평탄한 계량을 갖는 무한한 가닥을 이끌어내는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다변수 $D$ 가 켈러-아인슈타인 계량을 갖지 않을 경우, $Y = X \setminus D$ 에서 완전한 리치-평탄한 켈러 계량을 구성할 수 있는가?
• RQ2 링크 $S \subset N_D^*$ 에 대해 어떤 조건이 사사키-아인슈타인 기하학을 갖게 하며, 리치-평탄한 계량의 구성에 기여하는가?
• RQ3 모든 소형 매끄러운 변형이 토릭 과거린 특이점을 가지며, 완전한 리치-평탄한 켈러 계량을 갖는가?
• RQ4 $Y = X \setminus D$ 에서 계량의 점 渐진적 행동이 칼라비-안츠 메트릭으로 기술될 수 있는가?
• RQ5 이 일반화된 구성법을 통해 어떤 새로운 칼라비-유우 다양체가 유도되는가?

주요 결과

• 논문은 링크 $S \subset N_D^*$ 가 표준 구조의 사사키-콘 내에서 사사키-아인슈타인 기하학을 갖는다면, $Y = X \setminus D$ 가 $H^2_c(Y, \mathbb{R})$ 내의 모든 켈러 클래스에서 완전한 리치-평탄한 켈러 계량을 갖는다는 것을 증명한다.
• 모든 소형 매끄러운 변형이 토릭 과거린 특이점을 가지며, 칼라비-안츠 메트릭에 점 渐진적으로 수렴하는 완전한 리치-평탄한 켈러 계량을 갖는다. 이는 기존의 켈러-아인슈타인 경우를 초월하여 일반화된 결과이다.
• 무한대 근처의 이웃 영역에서의 점 渐진 계량 $\bar{g}$ 는 $\nabla^j(g - \bar{g}) = O(\rho^{-2n + \delta - j})$ 를 만족하며, $j \leq k$ 이다. 이는 강한 수렴성을 보여준다.
• 대칭 다각형의 민코프스키 분해를 통해, 토릭 특이점의 매끄러운 변형 $\hat{X}$ 를 얻는 무한한 수의 새로운 리치-평탄한 켈러 다양체를 구성한다.
• 링크 $S$ 가 항상 사사키-아인슈타인 계량을 갖는 토릭 다양체에 대해 이 구성법이 적용되며, 새로운 예들의 넓은 범주를 제공한다.
• 기하학적 전이 $\check{X} \leadsto X \leadsto \hat{X}$ 가 실현되며, $\check{X}$ 는 해소이고 $\hat{X}$ 는 매끄러운 변형이며, 둘 다 리치-평탄한 계량을 갖는다.