[논문 리뷰] A criterion for coincidence of the entanglement-assisted classical capacity and the Holevo capacity of a quantum channel

M. E. Shirokov|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 15.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 양자 채널의 얽힘 보조 고전적 용량과 홀로보 용량이 일치하는 필수 및 필요 조건을 규명한다: 채널의 χ-필수 부분이 고전-양자(c-q) 채널이어야 한다. 결과는 유한 차원에서 무한 차원 채널로 일반화되며, 선형 제약 조건 하에서 등식이 성립하는 것은 채널이 입력 상태의 지지부분에 제한되었을 때 c-q이면 성립하며, 대칭 조건은 대각화 가능성을 전제로 한다.

ABSTRACT

It is easy to show coincidence of the entanglement-assisted classical capacity and the Holevo capacity for any c-q channel between finite dimensional quantum systems. In this paper we prove the converse assertion: coincidence of the above-mentioned capacities of a quantum channel implies that the $χ$-essential part of this channel is a c-q channel (the $χ$-essential part is a restriction of a channel obtained by discarding all input states useless for transmission of classical information). The above observations are generalized to infinite dimensional quantum channels with linear constraints by using the obtained conditions for coincidence of the quantum mutual information and the constrained Holevo capacity.

연구 동기 및 목표

• 양자 채널에 대해 엽힘 보조 고전적 용량이 홀로보 용량과 일치하는 필수 및 필요 조건을 규명하는 것.
• 이 등식이 정확히 엽힘 파괴 채널에서 성립한다는 오해를 해결하고, 대신 이는 c-q 채널을 특징짓는다는 것을 보여주는 것.
• 유한 차원 특성 분석을 선형 제약 조건 하에서 무한 차원 채널로 확장하는 것.
• 채널 제약 조건 하에서 제약된 홀로보 용량과 양자 상호정보량 간의 관계를 분석하는 것.
• 특히 χ-필수 부분의 구조를 통해 등식 $ C_{\mathrm{ea}}(\Phi) = \bar{C}(\Phi) $ 가 성립하는 조건을 설정하는 것.

제안 방법

• 홀로보 용량에 최적화된 모든 군집을 지지하는 최소 부분공간으로의 제한을 통해 채널의 χ-필수 부분을 정의한다.
• 스티네스프링 확장(Stinespring dilation)을 사용하여 채널 및 그 보완 채널을 표현하고, 양자 상호정보량을 분석할 수 있도록 한다.
• 순수 상태의 가족에 대한 채널의 복원 가능성 개념을 적용하고, 무한 차원 설정에서의 결과 [17]를 활용한다.
• 트레이스 클래스 연산자의 수렴과 측도의 약한 수렴을 다루기 위해 χ-량과 상대 엔트로피의 하부 연속성을 이용한다.
• 강한 수렴을 통해 유한 랭크 채널 $ \Phi_n = \Pi_n \circ \Phi $ 의 근사화를 구성하여 결과를 무한 차원으로 확장한다.
• 수렴 조건 하에서 상호정보량과 홀로보 용량을 연결하는 등식 $ I(\Phi, \rho) = \chi(\Phi(\mu)) - \chi(\widehat{\Phi}(\mu)) $ 를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 양자 채널의 엽힘 보조 고전적 용량이 홀로보 용량과 일치하는가?
• RQ2 등식 $ C_{\mathrm{ea}}(\Phi) = \bar{C}(\Phi) $ 가 성립하면 채널의 χ-필수 부분이 고전-양자(c-q) 채널임을 의미하는가?
• RQ3 유한 차원 결과는 선형 제약 조건 하에서 어떻게 무한 차원 양자 채널로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 제약된 홀로보 용량 $ \bar{C}(\Phi, \rho) $ 와 양자 상호정보량 $ I(\Phi, \rho) $ 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 등식 $ I(\Phi, \rho) = \bar{C}(\Phi, \rho) $ 가 성립할 때, 채널이 $ \mathrm{supp}\,\rho $ 에 제한되었을 때 c-q 채널임을 의미하는가?

주요 결과

• 유한 차원 채널에서는 $ C_{\mathrm{ea}}(\Phi) = \bar{C}(\Phi) $ 가 성립하는 것은 채널의 χ-필수 부분이 c-q 채널이어야 한다는 것과 필요충분이다.
• 등식 $ C_{\mathrm{ea}}(\Phi) = \bar{C}(\Phi) $ 를 만족하는 채널의 집합은 엽힘 파괴 채널의 집합과 일치하지 않는다.
• 선형 제약 조건 하에서 무한 차원 설정에서는 $ \bar{C}(\Phi, \rho) = I(\Phi, \rho) $ 이면 채널이 $ \mathrm{supp}\,\rho $ 에 제한되었을 때 c-q 채널이 된다.
• 반대로, $ \rho $ 가 제한된 채널의 c-q 표현 기저에서 대각화 가능하면 $ \bar{C}(\Phi, \rho) = I(\Phi, \rho) $ 가 성립한다.
• 근사 채널 $ \Phi_n $ 이 강한 위상에서 $ \Phi $ 로 수렴하면 $ \chi(\Phi_n(\mu)) \to \chi(\Phi(\mu)) $ 와 $ \chi(\widehat{\Phi}_n(\mu)) \to \chi(\widehat{\Phi}(\mu)) $ 가 수렴한다.
• 무한 차원의 경우 수렴성과 등식을 증명하는 데 핵심적인 요소는 χ-량의 하부 연속성과 양자 연산에 대한 상대 엔트로피의 단조성이다.