[논문 리뷰] A derivability criterion based on the existence of adjunctions

Beatriz Rodríguez González|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 15.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 분해가 아니라 연접성의 존재에 기반한 함자에 대한 새로운 유도 가능성 기준을 수립한다. 만약 연접 함자의 왼쪽 유도 함자가 오른쪽 연접 함자를 가지면, 오른쪽 유도 함자가 존재하며 그와 일치함을 증명한다. 핵심 기여는 Quillen-Maltsiniotis의 유도 연접 정리의 역을 증명한 것으로, 이는 호모토피 코일림 정의의 등가성에 대한 오랫동안 남아 있던 질문을 해결하고, Toën의 유도 모리타 이론에서의 내부 함자(내부 함수)가 실제로 dg-범주 내부 함자의 절대 오른쪽 유도 함자임을 확인한다.

ABSTRACT

In this paper we introduce a derivability criterion of functors based on the existence of adjunctions rather than on the existence of resolutions. It constitutes a converse of Quillen-Maltsiniotis Derived Adjunction Theorem. We present two consequences of our derivability criterion. On the one hand, we prove that the two notions for homotopy colimits corresponding to Grothendieck derivators and Quillen model categories are equivalent. On the other hand, we deduce that the internal hom for derived Morita theory constructed by B. Toen is indeed the right derived functor of the internal hom of dg-categories.

연구 동기 및 목표

• 분해가 아니라 연접성에 기반한 새로운 함자 유도 가능성 기준을 개발하여, 고전적인 단사 또는 K-단사 분해에 기반한 기준들에 대한 대안을 제공한다.
• Quillen-Maltsiniotis의 유도 연접 정리의 역을 제공하여, 왼쪽 유도 함자의 오른쪽 연접 함자가 존재하면 오른쪽 유도 함자가 존재함을 보인다.
• 호모토피 대수학의 기초적 질문을 해결하기 위해 그로텐디크와 퀼렌의 호모토피 코일림 정의의 등가성을 증명한다.
• Toën의 유도 모리타 이론에서의 내부 함자가 실제로 dg-범주의 내부 함자의 절대 오른쪽 유도 함자임을 확인한다. 이는 분해 기반의 구성이 아닌 절차이기 때문이다.

제안 방법

• 반복 칸 확장에 관한 두부크의 결과에서 기반을 두고, 절대 칸 확장을 통해 유도 함자의 존재를 유도한다.
• 기준은 $\mathbb{L}F$가 오른쪽 연접 함자 $G'$를 가지면, $\mathbb{R}G$가 존재하고 그와 일치함을 보여준다. 여기서 $F$와 $G$는 서로 연접된 함자이다.
• 모델 범주와 유도 범주에 적용되며, dg-범주와 모델 범주의 호모토피 범주에서의 국소화 및 유도 함자를 사용한다.
• 유도 텐서 tích의 단위의 자연성에 기반하여, $Ho(dgcat)$에서의 내부 함자가 dg-범주의 내부 함자의 오른쪽 유도 함자임을 보여준다.
• 분해 기반의 구성 없이 오직 연접성과 절대 칸 확장에 의존함으로써, 유도 함자의 더 구조적인 특성 기술이 가능해진다.
• 대칭성을 확보하기 위해 대칭성을 이용하여 기준을 오른쪽 유도 함자로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분해에 의존하지 않고 연접성만을 사용하여 유도 가능성 기준을 정의할 수 있는가?
• RQ2 왼쪽 유도 함자의 오른쪽 연접 함자가 존재하면, 오른쪽 유도 함자가 존재함을 보장할 수 있는가?
• RQ3 일반적으로 그로텐디크의 정의와 퀼렌의 정의가 호모토피 코일림에서 등가인가?
• RQ4 Toën의 유도 모리타 이론에서의 내부 함자는 실제로 dg-범주의 내부 함자의 오른쪽 유도 함자인가?
• RQ5 유도 함자는 국소화된 호모토피 범주에서 오직 연접성에 의해 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 새로운 유도 가능성 기준을 수립한다: $F: \mathcal{C} \rightleftarrows \mathcal{D} : G$ 가 연접이면, $\mathbb{L}F$가 오른쪽 연접 함자 $G'$를 가지면 $\mathbb{R}G$가 존재하고 $G'$와 일치한다.
• 유도 범주에서 왼쪽 연접 함수로 정의된 호모토피 코일림과 모델 범주에서 절대 왼쪽 유도 함수로 정의된 호모토피 코일림의 두 정의가 등가이다.
• 퀼렌의 유도 함수로 정의된 호모토피 왼쪽 캔 확장은, 호모토피 코일림 정의의 등가성에 따라 직접적으로 합성 가능하다.
• Toën의 내부 함자 $\mathcal{R}\underline{\mathrm{Hom}}(-,-)$ 는 $Ho(dgcat)$에서 절대 오른쪽 유도 함자 $\mathbb{R}\underline{\mathrm{Hom}}(-,-)$ 임이 확인되었다.
• 호모토피 범주 $Ho(dgcat)$에서의 유도 텐서 곱 $- \otimes^\mathbb{L} \mathcal{B}$ 는 절대 왼쪽 유도 함수를 갖는다. 이는 $Ho(dgcat)$ 가 닫힌 대칭 모나이드 범주임을 보장한다.
• 유도 텐서 곱 $- \otimes^\mathbb{L} \mathcal{B}$ 의 단위의 자연성은 내부 함수 구성이 유도 함수와 호환됨을 보여주며, 이것이 실제로 유도 함수로서의 역할을 수행함을 검증한다.