[논문 리뷰] All $(\infty,1)$-toposes have strict univalent universes

Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 15.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 74인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 높은 범주론과 호모토피 유형 이론에서 기초적인 질문을 해결하면서 모든 $(\infty,1)$-토스가 엄격한 유니버스를 갖는다는 것을 증명한다. $(\infty,1)$-범주론의 프레임워크 내에서 구축된 접근을 통해 저자들은 관련 범주론적 연산에 대해 엄격하게 닫혀 있는 유니버스의 존재를 확립한다. 이는 높은 토스 이론에서 유형 이론적 구성에 대한 표준 모델을 제공한다.

ABSTRACT

We prove the conjecture that any Grothendieck $(\infty,1)$-topos can be presented by a Quillen model category that interprets homotopy type theory with strict univalent universes. Thus, homotopy type theory can be used as a formal language for reasoning internally to $(\infty,1)$-toposes, just as higher-order logic is used for 1-toposes. As part of the proof, we give a new, more explicit, characterization of the fibrations in injective model structures on presheaf categories. In particular, we show that they generalize the coflexible algebras of 2-monad theory.

연구 동기 및 목표

• 모든 $(\infty,1)$-토스에서 엄격한 유니버스의 존재를 확립하여 높은 토스 이론의 기초적 간극을 메운다.
• $(\infty,1)$-범주 내에서 유니버스 형식 이론을 모델링하기 위한 구축적이고 범주론적인 프레임워크를 제공한다.
• 유니버스 형식 이론이 모든 $(\infty,1)$-토스에서 엄격하게 실현될 수 있는지 여부를 해결한다. 이는 특정 모델에 국한되지 않는다.
• 유니버스 형식 이론과 높은 토스 사이의 대응을 확장하여 모든 $(\infty,1)$-토스에서 일관되게 유니버스 형식 이론이 이용 가능하도록 보장한다.

제안 방법

• $(\infty,1)$-범주론 이론과 $(\infty,1)$-토스의 내부 언어를 활용하여 유니버스 구성 요소를 분석한다.
• 유니버스 형식 이론의 내부 논리에서 엄격한 유니버스를 정의하기 위해 유니버스 형식의 유일성 조건과 그 보편 성질을 사용한다.
• 의존 합과 곱에 대해 엄격하게 닫혀 있도록 보장하기 위해 코레플렉션 또는 국소화 함수를 통해 유니버스를 구성한다.
• $(\infty,1)$-토스 이론의 결과, 예를 들어 물체 분류자 존재성과 $(\infty,1)$-토스 내에서의 유형 이론 연산의 일관성 등을 적용한다.
• 모든 $(\infty,1)$-토스가 현저한, 국소적으로 카르테시안 닫혀 있고, 아이디포텐트 완비인 범주임을 이용하여 필요한 보편 가족의 존재를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $(\infty,1)$-토스는 의존 합과 곱에 대해 엄격하게 닫혀 있는 유니버스를 갖는가?
• RQ2 $(\infty,1)$-토스 내에서 유니버스 형식 이론의 구성은 모든 이러한 범주에 대해 표준적이고 균일한가?
• RQ3 추가적인 가정이나 모델 특화된 구성 없이도 모든 $(\infty,1)$-토스에서 유니버스 형식 이론을 실현할 수 있는가?
• RQ4 $(\infty,1)$-토스의 내부 논리는 엄격한 유니버스 형식 이론의 존재를 어떻게 지원하는가?

주요 결과

• 모든 $(\infty,1)$-토스는 의존 합과 곱에 대해 엄격하게 닫혀 있는 유니버스를 갖는다.
• 유니버스는 $(\infty,1)$-토스의 내부 논리에서 유니버스 조건을 만족하는 보편적 가족으로 구성된다.
• 이 구성은 추가적인 가정 없이 $(\infty,1)$-토스의 공리에 기반하여 표준적이다.
• 이러한 유니버스의 존재는 어떤 $(\infty,1)$-토스의 내부 유형 이론도 엄격하고 일관된 방식으로 유니버스 형식 이론을 만족시킴을 보장한다.