[논문 리뷰] A deterministic polynomial time algorithm for non-commutative rational identity testing with applications

Ankit Garg, Leonid Gurvits외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 11.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비가환 변수에 대한 기호 행렬의 가역성 테스트를 위한 첫 번째 결정적 다항시간 알고리즘을 제시하며, 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결한다. 구르비츠의 알고리즘에 대한 새로운 연산자 용량 하한을 분석하고 증명함으로써 다항시간 실행을 보장함으로써, 비가환 항등식 테스트, 자유 스칼라 필드에서의 단어 문제, 나눗셈을 포함한 산술 공식 평가에 대한 효율적인 해법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we present a deterministic polynomial time algorithm for testing if a symbolic matrix in non-commuting variables over $\mathbb{Q}$ is invertible or not. The analogous question for commuting variables is the celebrated polynomial identity testing (PIT) for symbolic determinants. In contrast to the commutative case, which has an efficient probabilistic algorithm, the best previous algorithm for the non-commutative setting required exponential time (whether or not randomization is allowed). The algorithm efficiently solves the word for the free skew field, and the identity testing problem for arithmetic formulae with division over non-commuting variables, two problems which had only exponential-time algorithms prior to this work. The main contribution of this paper is a complexity analysis of an existing algorithm due to Gurvits, who proved it was polynomial time for certain classes of inputs. We prove it always runs in polynomial time. The main component of our analysis is a simple (given the necessary known tools) lower bound on central notion of capacity of operators (introduced by Gurvits). We extend the algorithm to actually approximate capacity to any accuracy in polynomial time, and use this analysis to give quantitative bounds on the continuity of capacity (the later is used in a subsequent paper on Brascamp-Lieb inequalities). Symbolic matrices in non-commuting variables, and the related structural and algorithmic questions, have a remarkable number of diverse origins and motivations. They arise independently in (commutative) invariant theory and representation theory, linear algebra, optimization, linear system theory, quantum information theory, approximation of the permanent and naturally in non-commutative algebra. We provide a detailed account of some of these sources and their interconnections.

연구 동기 및 목표

• 비가환 변수에 대한 ℚ 상의 기호 행렬의 가역성 테스트를 위한 결정적 다항시간 알고리즘을 개발하기.
• 구르비츠의 비가환 유리형 항등식 테스트 알고리즘의 복잡도를 해결하여, 모든 입력에 대해 항상 다항시간 내에 실행됨을 증명하기.
• 자유 스칼라 필드에서의 단어 문제와 비가환 변수에 대한 나눗셈을 포함한 산술 공식의 항등식 테스트에 대한 효율적 해법을 제공하기.
• 구르비츠의 프레임워크의 핵심 요소인 선형 연산자의 용량에 대한 하한을 확립하여 실행 시간 분석을 가능하게 하기.
• 연산자의 용량을 임의의 정밀도로 다항시간 내에 근사화할 수 있도록 알고리즘을 확장하여, 브라스캄-라이브 부등식 응용에 대한 연속성 경계를 확보하기.

제안 방법

• 비가환 유리형 항등식 테스트를 위한 기존의 구르비츠 알고리즘을 적응하고 분석하여, 모든 입력에 대해 실행 시간이 다항시간임을 증명하기.
• 구르비츠 접근법의 핵심 개념인 선형 연산자의 용량에 대한 새로운 하한을 도입하여 다항시간 실행 보장을 확립하기.
• 용량 하한을 활용하여 알고리즘이 입력의 구조에 관계없이 항상 다항시간 내에 실행됨을 증명하기.
• 연산자의 용량을 임의의 정밀도로 다항시간 내에 근사화할 수 있도록 알고리즘을 확장하기.
• 근사 알고리즘에서 유도된 용량의 연속성 특성을 활용하여, 브라스캄-라이브 부등식 응용을 지원하기.
• 프레임워크를 적용하여 자유 스칼라 필드에서의 단어 문제와 비가환 산술 회로의 항등식 테스트를 해결하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 변수에 대한 기호 행렬의 가역성 테스트를 위한 결정적 다항시간 알고리즘을 구성할 수 있는가?
• RQ2 구르비츠의 비가환 유리형 항등식 테스트 알고리즘은 항상 다항시간 내에 실행되는가, 아니면 제한된 입력 클래스에 대해서만 그런가?
• RQ3 자유 스칼라 필드에서의 단어 문제의 계산 복잡도는 무엇이며, 이를 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ4 비가환 알고리즘의 다항시간 분석을 가능하게 하기 위해 선형 연산자의 용량을 하한으로서 유계화할 수 있는가?
• RQ5 연산자의 용량을 임의의 정밀도로 다항시간 내에 근사화할 수 있으며, 이는 연속성 경계에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 비가환 변수에 대한 기호 행렬의 가역성 테스트를 위한 첫 번째 결정적 다항시간 알고리즘을 제시한다.
• 모든 입력에 대해 구르비츠의 비가환 유리형 항등식 테스트 알고리즘이 다항시간 내에 실행됨을 증명한다. 특수 케이스에 국한되지 않는다.
• 기존에 지수시간 해법만 존재했던 자유 스칼라 필드에서의 단어 문제를 효율적으로 해결할 수 있다.
• 이전에는 지수시간에만 해결 가능했던 비가환 변수에 대한 나눗셈을 포함한 산술 공식의 항등식 테스트를 효율적으로 수행할 수 있다.
• 알고리즘의 다항시간 실행을 증명하는 데 핵심적인 새로운 선형 연산자 용량 하한을 확립한다.
• 연산자의 용량을 임의의 정밀도로 다항시간 내에 근사화할 수 있으며, 이 결과는 용량에 대한 정량적 연속성 경계를 도출한다.