[논문 리뷰] A Dichotomy for the Generalized Model Counting Problem for Unions of Conjunctive Queries

Batya Kenig, Dan Suciu|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 03.

Bayesian Modeling and Causal Inference참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 합쳐진 조건부 쿼리(UCQs)에 대한 일반화된 모델 수세기 문제에 대해 이분법을 수립하며, 안전한 UCQ의 경우 다항식 시간 내에 해결 가능하고, 비안전한 UCQ의 경우 조건부 확률이 {0, 1/2, 1}로 제한되더라도 여전히 #P-어려움임을 증명한다. 주요 기여는 (0,1) 내 다수의 서로 다른 확률에 의존하지 않는 새로운 어려움 증명 기법을 개발한 것으로, 이는 이러한 엄격한 확률 제약 조건 하에서도 #P-어려움이 유지됨을 보여주며, 이는 이전의 확률적 데이터베이스 쿼리 평가 결과를 강화한다.

ABSTRACT

We study the $generalized~model~counting~problem$, defined as follows: given a database, and a set of deterministic tuples, count the number of subsets of the database that include all deterministic tuples and satisfy the query. This problem is computationally equivalent to the evaluation of the query over a tuple-independent probabilistic database where all tuples have probabilities in $\{0,\frac{1}{2},1\}$. Previous work has established a dichotomy for Unions of Conjunctive Queries (UCQ) when the probabilities are arbitrary rational numbers, showing that, for each query, its complexity is either in polynomial time or #P-hard. The query is called $safe$ in the first case, and $unsafe$ in the second case. Here, we strengthen the hardness proof, by proving that an unsafe UCQ query remains #P-hard even if the probabilities are restricted to $\{0,\frac{1}{2},1\}$. This requires a complete redesign of the hardness proof, using new techniques. A related problem is the $model~counting~problem$, which asks for the probability of the query when the input probabilities are restricted to $\{0,\frac{1}{2}\}$. While our result does not extend to model counting for all unsafe UCQs, we prove that model counting is #P-hard for a class of unsafe queries called Type-I forbidden queries.

연구 동기 및 목표

• 제한된 확률 조건 하에서 합쳐진 조건부 쿼리(UCQs)에 대한 일반화된 모델 수세기 문제에 대한 이분법을 수립하는 것.
• 이전의 증명이 임의의 유리수 확률에 의존하는 바, 비안전한 UCQ의 경우 확률이 {0, 1/2, 1}로 제한되더라도 여전히 #P-어려움임을 증명하는 것.
• 다양한 서로 다른 (0,1) 내 확률에 의존하지 않는 새로운 증명 기법을 개발하여, 더 엄격한 확률 제약 조건 하에서도 어려움 결과를 도출하는 것.
• 확률이 {0, 1/2}로 제한될 때 비안전한 UCQ의 모델 수세기가 여전히 어려운지, 특히 유형-I 금지 쿼리의 하위집합에 대해 조사하는 것.

제안 방법

• 비안전한 UCQ의 어려움 증명을 재설계하여, (0,1) 내 다수의 서로 다른 확률에 의존하지 않고, 차수 제한이 있는 다변수 다항식의 성질에 기반하는 새로운 기법을 도입한다.
• 레미마 1.1을 사용하여, 차수 ≤2인 영이 아닌 다변수 다항식에 대해, 서로 다른 상수 c₁, c₂, c₃로 변수를 할당할 경우 다항식이 영이 아닌 값을 갖는다는 것을 보이며, 이는 세 가지 확률 값만을 사용하는 어려운 인스턴스를 구성할 수 있음을 보장한다.
• 지수화된 벡터의 수열을 사용하는 새로운 귀납적 추론을 적용하여, 반복 적용 시 확률의 곱이 영이 아닌 상태를 유지하는 할당을 구성함으로써, 영이 아닌 모델 수세기의 존재를 보장한다.
• 레미마 C.48을 활용하여, 특정 지수 수열에 대해 확률의 비율이 지수적으로 감소함을 보장함으로써, 극한에서 확률의 곱이 영이 아닌 상태를 유지함을 보장한다.
• 비율 r_ij = u_i^q z_j^t 가 서로 다를 수 있도록 제약 조건 Γ를 정의함으로써, 합의 가장 큰 항이 점점 더 우세해지게 하여, 영이 아닌 평가가 유지되도록 한다.
• UCQ 내 조건부 쿼리의 수에 대한 귀납을 적용하여, 하위쿼리의 결과를 곱셈적 확률 구조로 조합하고, 새로운 증명 프레임워크를 적용하여 영이 아닌 평가를 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비안전한 UCQ의 쿼리 평가에 대한 #P-어려움이 확률이 {0, 1/2, 1}로 제한될 경우에도 유지되는가?
• RQ2 이전의 어려움 증명에서 중심이 되었던 (0,1) 내 다수의 서로 다른 확률에 의존하지 않는 새로운 증명 기법을 개발할 수 있는가?
• RQ3 확률이 {0, 1/2}로 제한될 경우 비안전한 UCQ의 모델 수세기가 여전히 #P-어려운가, 특히 유형-I 금지 쿼리에 대해 어떻게 되는가?
• RQ4 엄격한 확률 제약 조건 하에서도, 확률 벡터의 반복 지수화 과정을 거쳐도 영이 아닌 모델 수세기의 존재를 보장할 수 있는가?
• RQ5 다변수 다항식의 어떤 구조적 성질이 {0, 1/2, 1}과 같은 유한한 값 집합에서 영이 아닌 평가를 가능하게 하는가?

주요 결과

• UCQ에 대한 일반화된 모델 수세기 문제는 쿼리가 안전한 경우 PTIME 내에 해결 가능하고, 비안전한 경우 조건부 확률이 {0, 1/2, 1}로 제한되더라도 여전히 #P-어려움이다.
• 이러한 어려움 결과는 하위집합이 아닌 모든 비안전한 UCQ에 대해 성립하며, (0,1) 내 다수의 서로 다른 확률에 의존하지 않는 새로운 증명을 통해 도출된다.
• 이 증명은 영이 아닌 다항식이 차수 ≤2인 다변수 다항식이 존재할 경우, 서로 다른 상수 c₁, c₂, c₃로 변수를 할당하면 영이 아닌 값을 갖는다는 새로운 레미마에 기반한다.
• 비안전한 UCQ의 경우, 확률이 {0, c, 1}로 제한되더라도, c가 관련 다항식의 근이 아니면 여전히 모델 수세기는 #P-어려움이다.
• 논문은 확률이 {0, 1/2}로 제한될 경우, 유형-I 금지 쿼리로 불리는 비안전 쿼리의 일부에 대해 모델 수세기가 #P-어려움임을 증명한다.
• 지수적으로 스케일링된 확률의 합에서 가장 큰 항이 점점 더 우세해지게 하여, 반복 지수화 과정 동안에도 영이 아닌 평가가 유지됨을 보장함으로써, 어려운 인스턴스의 구성이 가능해진다.