[논문 리뷰] A double-dimensional approach to formal category theory

Seerp Roald Koudenburg|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 12.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 36인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 형식적 범주론을 공식화하기 위해 보강된 가상 이중 범주 프레임워크를 도입하며, 특히 단순한 범주론의 얀다 렘마를 모나이드 범주와 같은 대수적 맥락으로 확장한다. 이는 적절한 조건 하에서 프레시브 범주로의 얀다 임베딩이 T-대수로 올라가며, 결과적으로 얻어진 프레시브 범주가 대수적 맥락에서의 자유적인 소형 완비화임을 증명한다. 이를 통해 데이 콘볼루션과 임-켈리의 자유 모나이드 완비화에 대한 결과를 복원한다.

ABSTRACT

Whereas formal category theory is classically considered within a $2$-category, in this paper a double-dimensional approach is taken. More precisely we develop such theory within the setting of augmented virtual double categories, a notion extending that of virtual double category by adding cells with nullary target. [...] After this the notion of `weak' Kan extension within an augmented virtual double category is considered, together with three strengthenings. [...] The notion of yoneda embedding is then considered in an augmented virtual double category, and compared to that of a good yoneda structure on a $2$-category; the latter in the sense of Street-Walters and Weber. Conditions are given ensuring that a yoneda embedding $y \colon A o \hat A$ defines $\hat A$ as the free small cocompletion of $A$, in a suitable sense. In the second half we consider formal category theory in the presence of algebraic structures. In detail: to a monad $T$ on an augmented virtual double category $\mathcal K$ several augmented virtual double categories $T ext-\mathsf{Alg}_{(v, w)}$ of $T$-algebras are associated, [...]. This is followed by the study of the creation of, amongst others, left Kan extensions by the forgetful functors $T ext-\mathsf{Alg}_{(v, w)} o \mathcal K$. The main motivation of this paper is the description of conditions ensuring that yoneda embeddings in $\mathcal K$ lift along these forgetful functors, as well as ensuring that such lifted algebraic yoneda embeddings again define free small cocompletions, now in $T ext-\mathsf{Alg}_{(v, w)}$. As a first example we apply the previous to monoidal structures on categories, hence recovering Day convolution of presheaves and Im-Kelly's result on free monoidal cocompletion, as well as obtaining a "monoidal Yoneda lemma".

연구 동기 및 목표

• 클래식한 얀다 렘마를 모나이드 범주와 같은 대수적 구조를 가진 맥락으로 일반화하기 위해.
• 이중 범주적 프레임워크를 통해 릿지 모나이드 함자와 프로파일러를 모두 다룰 수 있도록, 릿지 모나이드 함자에 대한 형식적 얀다 렘마를 공식화하기 위해.
• 기본 범주에서 T-대수로의 忘却 함자에 沿해 프레시브로의 얀다 임베딩이 올라가는 조건을 규명하기 위해.
• 올라간 얀다 임베딩이 T-대수의 범주에서 자유적인 소형 완비화를 정의함을 증명하기 위해.
• 데이 콘볼루션과 임-켈리의 자유 모나이드 완비화에 대한 정리와 같은 고전적 결과들을 복원하고 일반화하기 위해.

제안 방법

• 논문은 가상 이중 범주를 보완하여 이원적 목표 셀을 允허하는 보강된 가상 이중 범주 이론을 개발한다.
• 이 프레임워크 내에서 보편적 칸 확장의 세 가지 개념—보르체이크-켈리, 스트리트의 점별 확장, 그리고 통합된 개념—을 일반화한다.
• 보강된 가상 이중 범주에서 좋은 얀다 구조를 정의하고, 얀다 임베딩이 자유적인 소형 완비화를 유도하는 조건을 특성화한다.
• 보강된 가상 이중 범주에서 모나드 T에 대해 T-대수를 구성하며, 특정 일관성 유형을 가진 T-대수의 범주 T-Alg(v,w)를 형성한다.
• T-Alg(v,w) →K 忘却 함자가 칸 확장을 생성하고, 적절한 조건 하에서 얀다 임베딩이 이들에 沿해 올라간다는 것을 증명한다.
• 이 프레임워크를 모나이드 범주에 적용하여, 데이 콘볼루션은 자연스럽게 유도되며, (bA, b⊗)가 (A, ⊗)의 자유 모나이드 완비화임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 모나이드 범주와 같은 대수적 구조를 가진 맥락으로 얀다 렘마를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 기본 범주 K가 적절한 조건을 만족할 때, 프레시브로의 얀다 임베딩이 모나드 T에 대한 T-대수로의 忘却 함자에 따라 올라가는 조건은 무엇인가?
• RQ3 T-Alg(v,w)에서 올라간 얀다 임베딩이 여전히 자유적인 소형 완비화를 정의하는가?
• RQ4 대수적 맥락에서, 릿지 모나이드 프로파일러와 얀다 임베딩에 의해 유도된 릿지 모나이드 함자 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 보강된 가상 이중 범주에서의 칸 확장 이론을 어떻게 활용하여 데이 콘볼루션과 같은 고전적 결과를 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 기본 범주 K가 적절한 조건을 만족할 경우, 얀다 임베딩 y: A → bA 는 T-Alg(c,l) 및 T-Alg(c,ps,lbc)에서의 얀다 임베딩으로 올라간다.
• T-Alg(c,l)에서 올라간 얀다 임베딩은 bA 를 A 의 S(c,l)-완비화로 정의한다. 여기서 S(c,l)는 왼쪽 확장 다이어그램의 아이디얼이다.
• T-Alg(c,ps,lbc)에 대해서도 동일한 결과가 성립하여, 자유 완비화가 대수적 구조에 의해 유지됨을 보여준다.
• 논문은 모나이드 얀다 렘마를 수립한다: 임의의 릿지 모나이드 프로파일러 J에 대해, 유도된 함자 J^λ 는 릿지 모나이드이면서 bA(y–, J^λ–) ≅ J 를 만족한다.
• 이 구성은 얀다 임베딩에 의해 유도된 bA 상의 모나이드 구조로서 데이 콘볼루션을 복원한다.
• 모든 소형 V-완비 모나이드 V-범주 N에 대해 자연 동치 MonCat(l,cocts)(bM, N) ≃ MonCatl(M, N) 가 존재하며, 이는 [IK86]의 정리 5.1을 복원한다.