[논문 리뷰] A Dunkl generalization of q-parametric Szasz-Mirakjan operators

M. Mursaleen, Nasiruzzaman|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 19.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 q-Dunkl 지수함수를 사용하여 Szász-Mirakjan 연산자의 새로운 q-매개변수 일반화를 제안하며, 코로브킨 유형의 근사 정리와 연속성 모듈러스 및 리프시츠 클래스를 통한 수렴 속도를 도출한다. 주요 기여는 리프시츠 클래스에 속하는 함수에 대한 정량적 수렴 추정치를 q-매개변수와 덱스트(Dunkl) 매개변수에 명시적인 의존성으로 설정한 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we construct a linear positive operators q-parametric Szasz-Mirakjan operators generated by the q-Dunkl generalization of the exponential function. We obtain Korovkin's type approximation theorem for these operators and compute convergence of these operators by using the modulus of continuity. Furthermore, the rate of convergence of the operators for functions belonging to the Lipschitz class is presented.

연구 동기 및 목표

• 개선된 근사 성질을 위해 q-Dunkl 지수함수를 통합함으로써 q-매개변수 Szász-Mirakjan 연산자를 일반화하기.
• q-미적분학과 덱스트 이론의 맥락에서 새로운 연산자에 대한 코로브킨 유형의 근사 정리 수립.
• 연속성 모듈러스를 사용한 수렴 속도 분석 및 리프시츠 클래스에 속하는 함수에 대한 정량적 추정 제공.
• 덱스트 유형 대칭성과 q-정수 구조를 통합함으로써 기존의 q-Szász-Mirakjan 연산자를 일반화하기.

제안 방법

• 저자들은 q-정수를 통한 감마 함수의 일반화인 $ \gamma_{\mu,q}(n) $를 사용하여, $ E_{\mu,q}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{q^{n(n-1)/2} x^n}{\gamma_{\mu,q}(n)} $로 주어지는 q-Dunkl 지수함수를 사용하여 선형 양의 연산자를 정의한다.
• x-변수에 대해 $ D_{n_1,n_2}^*(f;q_{n_1},q_{n_2};x,y) = \frac{1}{E_{\mu_1,q_{n_1}}([n_1]_{q_{n_1}}x)} \sum_{k_1=0}^{\infty} \frac{([n_1]_{q_{n_1}}x)^{k_1}}{\gamma_{\mu_1,q_{n_1}}(k_1)} q_{n_1}^{k_1(k_1-1)/2} f\left(\frac{1 - q_{n_1}^{2\mu_1\theta_{k_1} + k_1}}{q_{n_1}^{k_1 - 2}(1 - q_{n_1}^{n_1})}\right) $ 로 정의된 연산자가 구성되며, y에 대해서도 유사한 형태를 가진다.
• 수렴 분석은 연속성 모듈러스 $ \omega(f;\delta) $ 를 기반으로 하며, $ \left| D_{n_1,n_2}^*(f;q_{n_1},q_{n_2};x,y) - f(x,y) \right| \leq \frac{1}{2} \omega(f;\delta_1,\delta_2) \left(1 + \sqrt{\lambda_{n_1}(x)} \right)\left(1 + \sqrt{\lambda_{n_2}(y)} \right) $ 의 경계를 제공한다.
• 리프시츠 클래스 $ Lip_M(\nu_1,\nu_2) $ 에 속하는 함수의 경우, 수렴 속도는 $ M \left( \lambda_{n_1}(x) \right)^{\nu_1/2} \left( \lambda_{n_2}(y) \right)^{\nu_2/2} $ 로 유계화되며, 여기서 $ \lambda_{n_i}(z) = D_{n_1,n_2}^*((e_{i,0} - z)^2; q_{n_1}, q_{n_2}; x,y) $ 이다.
• 증명은 하올더 부등식과 q-Dunkl 지수함수의 성질을 사용하여 연산자의 두 번째 모멘트에 따라 오차를 통제한다.
• 이 프레임워크는 q-정수, 덱스트 가중 함수, $ \gamma_{\mu,q}(n) $ 의 생성함수를 통합함으로써 q-미적분학, 덱스트 이론 및 근사 이론을 융합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 덱스트 이론의 대칭성을 통합하기 위해 q-Szász-Mirakjan 연산자를 q-Dunkl 지수함수를 사용하여 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 연속 함수에 대해 $[0,\infty) \times [0,\infty)$ 에서의 새로운 연산자의 수렴 속도는 연속성 모듈러스로 어떻게 기술되는가?
• RQ3 리프시츠 클래스 조건은 일반화된 연산자의 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 q \to 1 이고 \mu 가 변화할 때, 근사 오차의 정량적 경계는 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 q-Dunkl 일반화된 q-매개변수 Szász-Mirakjan 연산자는 연속 함수에 대해 $[0,\infty) \times [0,\infty)$ 에서 수렴 보장하는 코로브킨 유형의 근사 정리를 만족한다.
• 수렴 속도는 $ \frac{1}{2} \omega(f;\delta_1,\delta_2) \left(1 + \sqrt{\lambda_{n_1}(x)} \right)\left(1 + \sqrt{\lambda_{n_2}(y)} \right) $ 로 유계화되며, 여기서 $ \lambda_{n_i}(z) $ 는 점 z 주위의 연산자의 두 번째 모멘트를 나타낸다.
• 리프시츠 클래스 $ Lip_M(\nu_1,\nu_2) $ 에 속하는 함수의 경우, 수렴 속도는 $ M \left( \lambda_{n_1}(x) \right)^{\nu_1/2} \left( \lambda_{n_2}(y) \right)^{\nu_2/2} $ 로 표현되며, 이는 부드러움 매개변수 $ \nu_1, \nu_2 $ 에 대한 명시적 의존성을 보여준다.
• 두 번째 모멘트 $ \lambda_{n_i}(z) $ 는 $ D_{n_1,n_2}^*((e_{i,0} - z)^2; q_{n_1}, q_{n_2}; x,y) $ 로 명시적으로 계산되며, 이는 연산자의 분산 유사 행동을 정량화한다.
• 수렴 속도는 $ q_{n_i} \to 1 $ 이 되면서 향상되며, 이는 극한에서 고전적 연산자로 수렴함을 나타내며, 이 수렴 속도는 $ [n_i]_{q_{n_i}} $ 에 의해 제어된다.
• 결과는 q-Dunkl 일반화가 고전적 q-Szász-Mirakjan 연산자의 근사 품질을 유지하면서도 덱스트 매개변수 $ \mu $ 를 통한 추가 대칭성과 유연성을 통합함을 보여준다.