[논문 리뷰] A fractional generalization of the Poisson processes

Francesco Mainardi, Rudolf Gorenflo외 1명|ArXiv.org|2007. 01. 16.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 19인용 수 44

한 줄 요약

이 논문은 지수 대기 시간 분포를 미타-레플레르 함수로 대체함으로써 포아송 과정의 분수일반화를 제안한다. 이는 거듭제곱법 감쇠를 보이는 비마르코프 재생과정을 이끈다. 생존 확률 방정식에 순서 β (0 < β < 1)의 분수도 도함수를 도입하면, 카푸토 시간 도함수를 포함하는 마스터 방정식이 유도되며, 그 해는 미타-레플레르 함수의 반복 도함수를 포함한다. 이는 포아송 및 복합 포아송 과정을 분수역학으로 일반화한다.

ABSTRACT

It is our intention to provide via fractional calculus a generalization of the pure and compound Poisson processes, which are known to play a fundamental role in renewal theory, without and with reward, respectively. We first recall the basic renewal theory including its fundamental concepts like waiting time between events, the survival probability, the counting function. If the waiting time is exponentially distributed we have a Poisson process, which is Markovian. However, other waiting time distributions are also relevant in applications, in particular such ones with a fat tail caused by a power law decay of its density. In this context we analyze a non-Markovian renewal process with a waiting time distribution described by the Mittag-Leffler function. This distribution, containing the exponential as particular case, is shown to play a fundamental role in the infinite thinning procedure of a generic renewal process governed by a power asymptotic waiting time. We then consider the renewal theory with reward that implies a random walk subordinated to a renewal process.

연구 동기 및 목표

• 비마르코프적이고 거듭제곱법 감쇠를 보이는 재생과정을 모델링하기 위해 분수미분학을 활용하여 고전적 포아송 과정을 일반화하는 것.
• 지수 분포를 대체하는 미타-레플레르 분포를 기반으로 한 분수 재생이론을 수립하는 것.
• 시간 분수도 마스터 방정식을 통해 보상이 있는 복합 포아송 과정을 분수역학으로 확장하는 것.
• 미타-레플레르 함수와 라플라스 변환을 사용하여 분수 복합 과정의 해석적 해를 유도하는 것.

제안 방법

• 생존 확률은 고전적 포아송 과정에서 일阶 도함수를 대체하는 순서 β의 카푸토 시간 도함수를 포함하는 분수 이완 방정식에 의해 지배된다.
• 대기 시간 밀도는 지수 분포를 일반화하는 미타-레플레르 함수로부터 유도되며, β → 1일 때 지수 분포로 수렴한다.
• 카운팅 과정은 라플라스 변환을 통해 분석되며, 확률 P(N(t) = k)는 대기 시간 밀도의 k중 복합과 생존 함수의 라플라스 커플링으로 표현된다.
• 분수 복합 과정은 카푸토 분수도 도함수를 포함하는 마스터 방정식으로 모델링되며, 시간 진화와 공간 내의 점프 역학을 연결한다.
• 분수 마스터 방정식의 해는 지수-레플레르 함수의 반복 도함수를 사용하여 구성되며, 포아송 분포를 일반화한다.
• 거듭제곱법 대기 시간을 갖는 일반적 재생과정에 대한 희석 절차는 거듭제곱법 수렴의 극한으로 미타-레플레르 분포를 이끈다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수미분학을 활용하여 장거리 의존성과 거듭제곱법 감쇠를 포함하는 포아송 과정을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 비마르코프 재생과정의 대기 시간 분포를 기술하는 데 있어 미타-레플레르 함수의 역할은 무엇인가?
• RQ3 카푸토 분수도 도함수의 도입이 생존 확률과 카운팅 과정의 역학에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 보상이 있는 복합 과정을 지배하는 분수 마스터 방정식의 해석적 형태는 무엇인가?
• RQ5 분수 재생과정은 거듭제곱법 점점 수렴하는 재생과정에 대한 희석 절차의 극한으로 유도될 수 있는가?

주요 결과

• 지수 분포를 일반화하는 거듭제곱법 감쇠를 보이는 비마르코프 재생과정에서 대기 시간의 기본 분포로 지수-레플레르 함수가 나타나며, 이는 지수 분포를 일반화한다.
• 0 < β < 1일 때, 생존 확률은 카푸토 도함수를 포함하는 분수 이완 방정식을 따르며, 이는 대기 시간 밀도의 거듭제곱법 감쇠를 이끈다.
• 시간 t까지 k개의 사건 발생 확률 P(N(t) = k)는 지수-레플레르 대기 시간 밀도와 생존 함수의 k중 복합을 포함하는 라플라스 커플링으로 표현된다.
• 분수 복합 과정은 시간 분수도 도함수를 포함하는 마스터 방정식에 의해 지배되며, 수체역학적 극한에서 공간-시간 분수도 확산 방정식으로 줄어든다.
• 분수 마스터 방정식의 해는 지수-레플레르 함수와 그 도함수를 포함하는 급수 형태로 표현된다: p(x,t) = ∑_{k=0}^∞ [t^{βk}/k!] E_β^{(k)}(-t^β) w_k(x).
• 지수-레플레르 분포는 거듭제곱법 수렴 대기 시간을 갖는 재생과정에 대한 무한 희석 절차의 극한 분포로서 나타나며, 이는 분수 재생이론에서의 기본적 역할을 확인한다.