[논문 리뷰] Fractional Calculus: Integral and Differential Equations of Fractional Order

Rudolf Gorenflo, Francesco Mainardi|ArXiv.org|2008. 05. 25.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 41인용 수 1,118

한 줄 요약

이 논문은 라플라스 변환 기법을 사용하여 분수적 적분 및 미분 방정식에 초점을 맞춘 리만-리오빌 분수적 미적분에 대한 종합적이면서도 접근하기 쉬운 소개를 제공한다. 주요 방정식—아벨 유형의 적분 방정식과 분수계수의 비례/진동 방정식—의 해석적 해를 수립하며, 미타그레플레르 함수의 중심적 역할을 입증한다. 이 함수의 성질은 부록에서 상세히 기술되어 있다.

ABSTRACT

We introduce the linear operators of fractional integration and fractional differentiation in the framework of the Riemann-Liouville fractional calculus. Particular attention is devoted to the technique of Laplace transforms for treating these operators in a way accessible to applied scientists, avoiding unproductive generalities and excessive mathematical rigor. By applying this technique we shall derive the analytical solutions of the most simple linear integral and differential equations of fractional order. We show the fundamental role of the Mittag-Leffler function, whose properties are reported in an ad hoc Appendix. The topics discussed here will be: (a) essentials of Riemann-Liouville fractional calculus with basic formulas of Laplace transforms, (b) Abel type integral equations of first and second kind, (c) relaxation and oscillation type differential equations of fractional order.

연구 동기 및 목표

• 응용 과학자들이 과도한 수학적 엄밀함 없이도 분수미분학을 이해할 수 있도록 제시하기 위해.
• 라플라스 변환 기법을 사용하여 선형 분수적 적분 및 미분 방정식의 해석적 해를 유도하기 위해.
• 분수미분방정식의 해에 있어 미타그레플레르 함수의 근본적 역할을 부각하기 위해.
• 이론적 분수미분학과 연속체역학, 특히 점탄성 및 비례 현상에서의 물리적 응용을 연결하기 위해.
• 분수적 연산자와 그 해를 포함한 자가 포함된 참고자료를 제공하기 위해. 이는 부록에 있는 미타그레플레르 함수에 기반한다.

제안 방법

• 분수적 적분 및 미분에 대해 $\alpha > 0$ 인 리만-리오빌 정의를 사용한다.
• 분수적 적분 및 미분 연산자에 라플라스 변환을 적용하여 해법 기법을 도출한다.
• 첫 번째 및 두 번째 종류의 아벨 유형 적분 방정식에 대한 해를 유도한다.
• 라플라스 변환 쌍을 사용하여 분수적 비례 및 진동 미분 방정식을 해결한다.
• 분수미분방정식의 핵심 해 구조로써 미타그레플레르 함수 $E_{\alpha,\beta}(z)$ 를 기반으로 한다.
• 특수한 경우에 오차 함수와 연결되는 $s^{-\alpha}$ 와 $s^{1/2}$ 의 유리함수를 포함한 명시적 라플라스 변환 쌍을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라플라스 변환은 어떻게 분수적 적분 및 미분 방정식을 체계적으로 해결하는 데 응용될 수 있는가?
• RQ2 분수계수의 아벨 유형 적분 방정식의 해석적 구조는 무엇인가?
• RQ3 분수계수 비례 및 진동 방정식은 정수계수에 대응하는 것과 행동 및 해의 형태에서 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ4 미타그레플레르 함수는 분수미분방정식의 해에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 어떤 물리적 맥락에서 분수계수 미분 방정식이 자연스럽게 나타나며, 어떻게 해결되는가?

주요 결과

• 두 번째 종류의 아벨 적분 방정식의 해는 미타그레플레르 함수 $E_{\alpha,\beta}(z)$ 로 표현되며, 이는 분수미분학에서 그 중심적 역할를 확인한다.
• $\alpha = 1/2$ 인 경우, 라플라스 변환 쌍 $\frac{1}{s^{1/2}(s^{1/2} \pm \lambda)} \div e_{1/2}(t; \pm \lambda) = e^{\lambda^2 t} \text{erfc}(\pm \lambda \sqrt{t})$ 가 도출되며, 이는 분수적 연산자와 오차 함수를 연결한다.
• 분수적 비례 방정식의 해는 미타그레플레르 함수 $E_{\alpha}(-\lambda t^\alpha)$ 를 포함하며, 이는 지수 감쇠를 거듭제곱 법칙 행동으로 일반화한다.
• 분수적 진동 방정식의 해는 $E_{\alpha,\beta}(-\lambda t^\alpha)$ 를 포함하며, 장기적으로 거듭제곱 법칙 감쇠를 보이는 감쇠 진동 행동를 나타낸다.
• 라플라스 변환 기법을 통해 상수 계수를 가진 선형 분수미분방정식에 대한 정확한 해를 알려진 변환 쌍을 사용하여 도출할 수 있다.
• 미타그레플레르 함수는 캡투와 메인아르디의 연구에서 보듯이 점탄성 모델에서 자연스럽게 나타나며, 이는 비례 과정에서의 물리적 관련성을 확인한다.